Pour devenir conférencier à l'université de Gottingen, le candidat doit présenter un mémoire d'habilitation à la société philosophique de Gottingen. En 1854, Bernhard Riemann - élève de Gauss en 1846 qui travaillait alors sur la géométrie intrinsèque des surfaces - propose un exposé intitulé "Sur les hypothèses qui servent de fondements à la géométrie" où il présente une nouvelle approche de la géométrie en proposant de généraliser la métrique euclidienne ds² = …dx_i² par une forme quadratique quelconque (définie positive dans le mémoire) ds² = …g_ijdx_idx_j. On sait l'importance que cette approche a pris ensuite, en particulier pour les modèles de l'espace temps de la relativité générale.

Dans son mémoire, Riemann dit que :

"L'observation nous apprend avec une grande certitude que l'espace réel est non pas infini, mais illimité"

On retrouve là la problèmatique déjà soulevé à propos de la demande 2 d'Euclide (Prolonger indéfiniment, selon sa direction, une droite finie) sur le sens du terme infini : est-il métrique ou topologique ? Riemann dit qu'il n'est pas métrique, alors que c'est l'utilisation essentielle qu'en font les commentateurs d'Euclide,court-circuitant de fait toute possibilité de constuction de la géométrie riemannienne (elliptique) dans laquelle l'axiome de parallélisme de la géométrie euclidienne est nié par inexistence de parallèles. Dans cette géométrie les distances sont bornées, et la somme des angles d'un triangle est supérieure à deux droits.

Indépendamment de cette approche métrique, est apparu - avec Poncelet en 1822 en France, puis plus systèmatiquement sur le plan axiomatique avec von Staudt en 1854 - la géométrie projective qui étudie les concepts géométriques sans référence à une métrique. Dans une analyse critique qu'il en fait en 1871, Félix Klein insiste alors sur le fait que la géométrie projective est totalement indépendante du postulat des parallèles (ce qui n'était pas évident avant lui). Il établit ensuite que les trois géométries, qu'il nomme lui-même elliptique, parabolique (ie euclidienne) et hyperbolique, sont les seuls types de géométries projectives à courbure constante.

Remarque : nous dirons plus loin qu'un plan hyperbolique n'est jamais projectif, mais tout plan métrique peut se plonger dans un plan projectif en introduisant la notion de point idéal et de droites idéales (Pasch 1888).

Ces travaux de Klein prolongent ceux de Cayley qui s'était intéressé à la recherche d'une métrique ordinaire en géométrie projective. Cayley avait une approche analytique, alors que Klein propose une approche géométrique en remplaçant la "conique absolue" de Cayley par une forme quadratique quelconque arbitairement fixée, ce qui lui permet d'aboutir au résultat cité, plus précisément il obtient :

Le cas elliptique (cas où la conique absolue de Cayley est imaginaire). Dans ce cas les droites sont fermées, de longueur finie, le plan aussi est d'aire finie. Ce cas correspond à l'axiome de Riemann pour lequel par un point, on ne peut faire passer de parallèle à une droite donnée.

Le cas hyperbolique (la conique absolue est réelle). Dans ce cas les droites sont ouvertes de longueur inifine et par un point, on peut mener deux parallèles à une droite donnée (au sens de Lobachevsky).

Les cas parabolique (la conique absolue dégénère en une paire de points imaginiaires). Cas limite commun aux deux précédents, la métrique est celle de la géométrie euclidienne ordinaire, la droite joignant les deux poins à l'infini étant la droite infinie de la géométrie projective ordiniaire.

 

Enfin, au lieu de chercher à caractériser les métriques par les variations infinitésimales comme le propose Riemann, on peut chercher une expression de la distance finie entre deux points. C'est l'objet de recherches de Minkovski et de Hilbert. En particulier Hilbert cherche à déterminer toutes les métriques de l'espace pour lesquelles les droites sont les lignes de longueur minimale entre deux points, tout en ayant une longueur infinie. Il montre que ces métriques existent et reviennent à choisir, dans l'espace projectif, pour absolu une surface fermée non concave, l'expression de la distance entre deux points A et B, intérieurs à la surface, étant alors de la forme c ln (A B M N) avec :

c est une constante,
M et N sont les intersection de la droite (AB) avec la surface "absolue" de référence,
(A B M N) désignant la valeur absolue du bi-rapport ordinaire de la géométrie projective : |(AM/AN) : (BM/BN)|, appelée aussi rapport anharmonique.

Par ailleurs, aprés les travaux de Pasch et Véronèse, Hilbert a également entrepris - entre autre ! - une réécriture réellement axiomatique des éléments d'Euclide et ses "fondements de la géométrie" (10 éditions, dont 7 de son vivant) se veulent une illustration de l'indépendance de l'axiomatisation vis à vis de l'expérience sensible, pour laquelle, on se souvient qu'il avait argumenté : on pourrait remplacer "point" par "verre de bière" et "droite" par "tabouret".

Hilbert a par exemple clairement mis en évidence le rôle des figures fondamentales de Désargues et de Pappus qui seront repris ultérieurement dans un point de vue plus algébrique. Il a aussi définit et construit des géométries plus abstraites, en particulier non arguésiennes, mais aussi "non pythagoriciennes". Il a également montré que le compas, jusqu'alors considéré comme essentiel dans la construction de figures, était inutile pour solutionner les problèmes fondamentaux posés par les axiomes et mis en place des construction à l'empan (report de la longueur unité sur une droite).

Outre une présentation rapide dans la page "Hilbert", un autre chapitre proposera de revenir plus en détail sur les "fondements de la géométrie" de David Hilbert, pour présenter quelques uns de ses apports, et quelques variantes autour de ses axiomes (Pasch, Veronèse - avant Hilbert - puis Kerekjaro, Greenberg, mis aussi Artin aprés)

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