On a déjà mentionné la "théorie des parallèles" de Taurinius qui, en 1825, proposait un développement complet d'une géométrie hyperbolique. L'auteur, tout en étant conscient de la consistance de son exposé, n'arrivait pas à lui attribuer un véritable statut mathématique.

Ce n'est que 4 ans plus tard que Lobachevsky, dans son mémoire "Les fondations de la géométrie" développe la géométrie hyperbolique (par un point il passe une infinité de parallèles à une droite donnée) : une axiomatique de géométrie est enfin proposée sans référence aux supports sensibles environnants, la géométrie n'est donc plus exclusivement une théorisation de l'espace réel. Outre les formules relatives à l'aire d'un triangle en fonction des angles, Lobachevsky développe des formules pour le cercle, introduit des objets nouveaux, inexistants en géométrie euclidienne comme les horocycles.

Lobachevsky avait commencé à faire connaître son travail par une communication dès 1826 : "l'exposition succinte des principes de la géométrie", et continuera à travailler sur cette géométrie jusqu'à son exposé de 1855, "Pangéométrie".

"Lobatchevsky va jusqu'à construire une géométrie analytique, ce qui assurait à sa géométrie, la même valeur logique que celle de la géométrie euclidienne" (Jean Itard - Les mathématiciens).

Ce n'est qu'en 1868 que Beltrami donnera toutefois un modèle eucliden de la géométrie de Lobachevsky, ceci cellant définitivement - du moins aux yeux des non spécialistes - l'indépendance de l'axiome des parallèles.

Si l'oeuvre de Lobachevsky retient l'attention, son auteur n'est pas le seul à arriver à cette construction d'une géométrie non euclidienne. Gauss et Bolyai, indépendamment arrivent à la même conclusion à peu près à la même époque. Gauss n'a jamais rien publié à ce sujet, mais une analyse de sa correspondance montre qu'aprés 1813, la consistance d'une géométrie non euclidienne ne faisait aucun doute pour lui.

Le père de Janos Bolyai était un ami de Gauss et les deux passaient pour être les deux meilleurs spécialistes de cette question des parallèles à cette époque. Dans son ouvrage sur "la révolution non euclidienne", Toth précise :

"En 1786, année durant laquelle l'activité en ce domaine fut particulièrement intense, il [Bolyai père] a produit à lui seul huit tentatives de solution, c'est-à-dire autant que tous les autres auteurs réunis pendant cette période. Parmi ses solutions s'en trouvaient quelques unes particulièrement intéressantes et rafiinées. Mais ce qui distinguait Wolfgang Bolyai de tous ses prédécesseurs, c'était son implacable esprit auto-critique : il a toujours découvert lui-même les erreurs cachées dans ses propres raisonnements."

Janos Bolyai commença à chercher une preuve du cinquième postulat à partir de 1820. Comme il n'y arrivait toujours pas en 1823, il se mit à étudier les conséquence de l'axiome contraire : "par un point il passe une infinité de parallèles à une droite donnée". Il fut alors rapidement surpris et stupéfait de la cohérence du nouveau système et produisit un opuscule "la science absolument vraie de l'espace" en 1825 que son père fit imprimer en appendice d'un de ses propres ouvrages, en 1832.

"La science absolument vraie de l'espace" se termine par la résolution de la quadrature du cercle dans cette géométrie, et cette alternative : ou bien l'axiome d'Euclide est vrai, ou bien la quadrature du cercle est possible ... ce qui reste un peu singulier sachant qu'il faudra attendre encore 50 ans avant que Lindemann ne montre la transcendance de Pi ...

Gauss lu l'exemplaire que le père de Bolyai lui avait envoyé. Barbarin dit que Gauss exprima surprise et approbation :

"La coÏncidence était presque complète entre les résultats de Janos Bolyai et ses propres méditations pendant près de trente-cinqu ans; il avait l'intention de publier les fruits de ces méditations pour ne pas les laisser périr avec lui, et était particulièrement heureux d'apprendre que cette fatigue lui fût épargnée par le fils de son meilleur ami".

Signalons toutefois que d'autres auteurs mentionnent que Bolyai avait été déçu de l'accueil de Gauss - mais peut-être parce qu'il fut surpris que Gauss ait été aussi avancé sur la question. Par ailleurs, on sait que Gauss - au moins jusqu'en 1829 - a été toujours réticent à publier sur la question : "j'ai peur des criaillements des ignorants" a-t-il écrit à Taurinius. La confrontation de plusieurs ouvrages sur la question montre clairement que chaque auteur a une vue bien personnelle de l'histoire des mathématiques, peut-être selon ses propres centres d'intérêt. Par exemple, pour certains, l'oeuvre de Lobachevsky est suffisament monumentale pour justifier qu'il ait été appelé "l'Euclide moderne", alors que pour d'autres, si le pas franchi est reconnu comme important pour la compréhension des fondements des mathématiques, il reste un mathématicien de second plan.

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