Le terme de "précurseurs" a été donné par Beltrami, dans une note sur "les précurseurs de Legendre et Lobachevsky" de 1899, quand il redécouvre les travaux, restés méconnus pendant 150 ans, de son compatriote Saccheri.

Si ces deux auteurs, Saccheri et Lambert, veulent eux aussi prouver le cinquième postulat - le titre de l'ouvrage de Saccheri est trés clair : "Euclide lavé de toute tache" - ils iront beaucoup plus loin que tous leurs prédécésseurs dans l'énoncé de propositions non euclidiennes, avec une précision et une rigueur remarquable et, ce qui est nouveau, sans aucune utilisation implicite - ou explicite - d'axiomes impliquant ou équivalent au cinquième posutlat, comme le fera encore un peu plus tard Legendre.

Seules, les conséquences auxquelles aboutissent ces auteurs, trop éloignées de leurs propres perceptions, produisent un revirement quant à leurs conclusions. Pour Saccheri, la conviction de la véracité du cinquième postulat, l'attachement perceptif peut-être à cette géométrie euclidienne, en particulier à ce que devrait être une ligne droite, aprés n'avoir rencontré aucune contradiction dans son étude de "l'angle aigu", lui fera tout de même écrire : "l'hypothèse de l'angle aigu est absolument fausse car cela répugne à la nature de la ligne droite".

Lambert ira dans un autre sens, et montrera que dans l'hypothèse de l'angle aigu, l'aire d'un triangle est proportionnelle au défaut angulaire (180° - somme des angles). Il en déduira qu'il existe alors dans ce cas une mesure absolue des longueurs, comme il en existe pour les angles. Pour Lambert - mais aussi probablement pour Saccheri - la géométrie étudiée en mathématique se doit d'être un modèle des propriétés de l'espace physique. Ainsi Lambert utilise le fait qu'il n'y a pas de mesure absolue dans l'espace physique pour rejeter l'hypothèse de l'angle aigu, lui aussi sans rencontrer aucune contradiction dans sa théorie des parallèles.

Lambert prend néanmoins consicence qu'un système d'hypothèses ne contenant pas de contradiction peut aboutir à une autre géométrie que celle de l'espace physique. Ainsi énoncera-t-il que la géométrie de l'angle aigu est une géométrie sur une sphère de rayon i (le nombre complexe), ce qui sera montré par Beltrami en 1868.

On notera aussi les 13 éditions des "Elements de géométrie" de Legendre. Celui-ci aura des démarches en deça de celles de Saccheri et Lambert, plus proche des commentateurs arabes à la différence qu'il fait explicitement mention des propriétés qu'il utilise. Par exemple une de ses preuves repose sur la même propriété que Al-Gauhari plusieurs siècles plus tôt :

Par chaque point à l'intérieur d'un angle, il passe toujours une droite coupant les deux côtés de l'angle.

Dans sa présentation des géométries non euclidienne, P. Barbarin dit de lui :

"Ses essais de démonstration, extrêment remarquables, auraient pu logiquement le conduire à l'une des vérités fondamentales de la Géométrie générale, à savoir que les propriétés de l'espace dépendent d'un certain paramètre"

Dans un article de La Recherche (n°75 - Fev 77), "La révolution non euclidienne", E. Toth mentionne d'autre auteurs, dont en particulier Taurinius qui publie une "théorie des parallèles" en 1825. On y trouve les propriétés hyperboliques déjà vues chez Saccheri. À la différence de celui-ci, cet auteur est convaincu de la consistance de la théorie ainsi construite, tout en lui attribuant "la valeur logique de fausseté". L'auteur de l'article note que "la GNE était paradoxement présente (...) mais laissée dans un étrange était d'ontologie négative".

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