Pendant plus de 2000 ans, les Elements d'Euclide ont été un ouvrage de référence. Ils ont été de nombreuses fois traduits et commentés, en particulier sur la théorie des parallèles du livre I et sur la théorie des proportions du livre V.

Commentateurs grecs (-III° - V°)

Dans le livre I, c'est essentiellement le cinquième postulat, d'énoncé compliqué et peu évident, qui laisse les mathématiciens insatisfaits, Géminius faisant par exemple remarquer que l'hyperbole est une ligne qui se rapproche indéfiniment de ses asymptotes sans les toucher. Raisonnement surprenant ? Ce sera pourtant la définition de Lobatchevsky, quinze siècles plus tard ... Afin d'améliorer la présentation hypothético-déductive de la géométrie, plusieurs démarches sont possibles pour les commentateurs : soit essayer de montrer ce postulat à partir des autres, soit introduire un autre postulat, plus facilement acceptable, et en déduire le cinquième, ou encore définir autrement le parallélisme. En fait, souvent on rencontre une situation logique moins claire : la preuve utilise une propriété considérée comme une propriété évidente implicite, en général non mentionnée par les auteurs, qui s'avèrera impliquer déjà le postulat que l'on essaie de montrer. Par exemple, le fait que par un point intérieur à un secteur angulaire, on peut toujours trouver une droite qui coupe les deux côtés de ce secteur est une propriété équivalente au postulat. On peut voir des illustrations hyperboliques infirmant quelques exemples de telles propriétés à la page Equivalences du V° postulat.

Une autre situation se rencontre dans le cas particulier de la définition des parallèles par équidistance. En effet, dans ce cas, on peut se passer du cinquième postulat pour construire la géométrie, à cette nuance près que pour montrer qu'il existe des droites parallèles, il faut à nouveau introduire un énoncé équivalent à ce postulat. Ces subtilités, imprégnées d'une référence implicite au monde sensible, ont été au coeur des difficultés rencontrées par les premiers commentateurs.

Commentateurs arabes (IX° - XIII°)

Aprés la fondation de Bagdad, en 762, les califes décidèrent de favoriser l'essor du savoir scientifique, dans un premier temps par un travail de synthèse et de traduction des ouvrages de références des civilisations grecques, mais aussi indiennes et chinoises. C'est ainsi que dès le IX° siècles - avec Al-Gauhari et Tabit ibn Qurra - les savants arabes reprennent les Eléments et les enrichissent de leurs propres commentaires, essentiellement dans la perspective de prouver le cinquième postulat "ni clair, ni évident". Par exemple Tabit ibn Qurra a écrit deux ouvrages commentant la théorie des parallèles d'Euclide, intitulés "Le livre sur la démonstration du célèvre postulat d'Euclide" et ensuite, "Le livre montrant que deux droites menées selon deux angles qui sont plus petits que deux droits se rencontrent". Dans cet ouvrage, il utilise le mouvement et montre ainsi l'existence de rectangles, sur la base d'un postulat qui veut que "tous les points d'un solide qui se déplace d'un mouvement rectiligne uniforme décrivent des droites".

Au XI° siècle, toujous avec le mouvement, Ibn al-Haytam propose une preuve en introduisant le quadrilatère à trois angles droits dont se servira Lambert au XVIII° siècle, et un peu plus tard, Omar al-Khayam propose des arguments ne s'appuyant plus sur le mouvement (qu'il rejette) sur la base d'un quadrilatère que reprendra Saccheri.

Avant d'aborder deux démonstrations des commentateurs arabes proprement dites, mentionnons que d'une manière générale, ils ont fait de la théorie des parallèles une "une théorie du parallélogramme", évitant ainsi de devoir traiter de l'infini, en se ramenant à des figures finies. Par exemple al-Haytam rejette tout recours à l'infini en disant que "seul le fini peut faire l'objet d'une représentation", l'esprit humain étant, selon lui, incapable de concevoir l'infini : nul ne sait ce qu'il s'y passe, ni comment deux droites peuvent s'y rencontrer. Pour ce qui est de la théorie des parallèles, on retiendra des commentateurs arabes qu'ils ont mis en évidence le lien entre le cinquième postulat et la somme des angles d'un quadrilatère, examinant de plusieurs façons un quadrilatère ayant deux droits.

Commentateurs européens (XVI° - XVIII°)

Remarquons, avec Khalil Jaouiche, qu'il n'y a pas de trace, dans l'occident latin, de discussion autour du cinquième postulat, avant le XVI° siècle. Bonola, dans son ouvrage sur les géométries non euclidiennes, mentionne qu'une version latine des Eléments d'Euclide est imprimée pour la première fois en 1482 à Venise, mais que ce n'est qu'à la suite de la publication des commentaires de Proclus à Bâle, en langue originale, en 1533, puis en latin en 1560 à Padoue qu'apparaissent les premières discussions sur le cinquième postulat, avec Clavius (1537-1612), Cataldi ( ? - 1626), puis Borelli (1608-1679) et Vitale (1633 - 1711) qui ramène l'existence d'une ligne équidistante d'une droite donnée à l'existence de trois points alignés équidistants d'une droite.

La seconde édition de l'Exposé d'Euclide (considérée actuellement comme apocryphe) de Nasir ad-Din at-Tusi est parue en arabe à Rome en 1594 et publiée ensuite en latin en 1657. Wallis a exposé la preuve du cinquième postulat, dans ses "Omnia opera mathematica", en 1693, avant de proposer ses propres arguments, utilisant une similitude.

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