[Présentation chronologique] [Equivalences du V° postulat] [Le livre I d'Euclide]
[Commentateurs] [Commentateurs arabes] [Commentateurs européens] [Précurseurs]
[Retour aux GNE] [Références utilisées] [Menu général]
"... comment ce dont la réciproque est consignée parmi les théorèmes comme démontrable serait-il indémontrable ?"
Pour cela, il commence par montrer une première proposition qui veut que :
|
|
Preuve de ProclusSoient les parallèles AB et CD, et que la droite EZH coupe la parallèle AB. Je dis qu'elle coupe aussi la parallèle CD.En effet, puisque l'on a deux droites BZ et ZH, prolongées à l'infini d'un seul point Z, elles ont entre elles une distance plus grande que toute grandeur ; de sorte que cette distance est aussi plus grande que celle qui existe entre les paralléles.Dès lors, puisque les droites sont plus distantes l'une de l'autre que la distance qui existe entre les parallèles, la droite ZH coupera la droite CD. En conséquence si une droite coupe l'une des parallèles, elle coupera l'autre aussi. |
1° axiome (explicitement formulé par Proclus)
Si deux droites formant un angle à partir d'un point sont prolongées à l'infini, l'intervalle de ces droites prolongées à l'infini dépasse toute grandeur finie.2° axiome (implicte, en fait réciproque du précédent)
La distance entre deux parallèles est bornée.
Sur la réciprocité des deux axiomes ci-dessus :
Axiome 1 : Si deux droites sont sécantes, alors la distance entre elles devient infinie.
Contraposée : Si la distance reste bornée, alors les droites ne sont pas sécantes.Axiome 2 : Si les droites sont parallèles, alors la distance entre elles est bornée.
Contraposée : Si la distance n'est pas bornée, alors les droites ne sont pas parallèles.
Analyse du raisonnement de Proclus proposée par JLC :
Notons P l'assertion : La somme des angles (de l'énoncé du postulat) est inférieure à deux droits.
Notons Q l'assertion : Les deux droites se coupent (du côté des angles ...).On a alors le schéma suivant :
Proposition 17 : Q => P Deux angles d'un triangle quelconque, de quelque manière qu'ils soient pris, sont moindres que deux droits
<= Réciproque =>
Cinquième postulat : P => Q Si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs d'un même côté plus petits que deux droits, ces droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits.
|
|
Raisonnement par l'absurde
pour obtenir la contraposée
|
|
|
|
Raisonnement par l'absurde
pour obtenir la contraposée
|
|
Proposition 27 : non P => non Q Si une droite, tombant sur deux droites, fait des angles alternes égaux entr'eux, ces deux droites seront parallèles.
<= Réciproque =>
Proposition 29 : non Q => non P Une droite qui tombe sur deux droites parallèles, fait les angles alternes égaux entr'eux, l'angle extérieur, égal à l'angle intérieur opposé et placé du même côté, et les angles intérieurs placés du même côté, égaux à deux droits.Le raisonnement de Proclus semble être celui-ci : la proposition 17 a été montrée par Euclide sans recours au postulat. Alors cette cinquième demande doit aussi pouvoir être montrée. Proclus aborde donc cette preuve là où le postulat apparaît pour la première fois, à la proposition 29.
Par un point extérieur à une droite, il passe toujours une droite équidistante à cette droite.
|
La figure et les hypothèses d'AganisSoient AB et GD deux droites, coupées par une sécante EZ et telle que la somme des angles intérieurs AEZ et EZD soit plus petite que deux droits.Il s'agit de montrer qu'alors les deux droites sont sécantes, Aganis va construire cette intersection C. Sans que la figure soit moins générale, on peut supposer que l'angle AEZ est droit.Sur ZD prenons un point T arbitraire et traçons TL perpendiculaire à ZE. |
La preuve
Soit P le milieu de EZ, M le milieu de PZ, etc ... jusqu'à ce que l'un des points P, M, ... soit sur le segment LZ. Que ce soit par exemple M. La perpendiculaire MN à EZ rencontre ZD en N.
Alors sur ZD construisins le segment ZC, le même multiple de ZN que ZE de ZM. Le point C ainsi obtenu est le point d'intersection des droites AB et GD.
Ainsi, Aganis utilise le fait que des segments égaux ont des projections égales.
On verra plus loin que Saccheri - mais un millénaire plus tard - saura clairement identifier les inégalités sur les projections des milieux dans un triangle rectangle relativement aux hypothèses sur l'angle de "son" quadrilatère.
[Présentation chronologique] [Equivalences du V° postulat] [Le livre I d'Euclide]