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"Par énoncé équivalent au cinquième postulat on entend un énoncé qui aboutit à la même géométrie en remplaçant l'un par l'autre, ceci en utilisant les méthodes de démonstrations typiquement euclidiennes - et avec leurs présupposés implicites couramment utilisés"

Trois points non alignés sont toujours cocycliques. Bolyai   Ci-contre les médiatrices d'un triangle hyperbolique ne sont pas concourantes : A, B et C ne sont donc pas cocycliques. Médiatrice hyperbolique

Il existe des triangles d'aire aussi grande que l'on veut. Gauss En gémétrie hyperbolique, l'aire est majorée par Pi - puisqu'elle vaut "Pi - somme des angles" - cette valeur Pi n'étant possible que pour des triangles d'angles nuls, et donc ayant leurs trois points idéaux, c'est-à-dire à l'infini sur l'horizon. Mesurer des angles

Pour tout triangle, il existe un triangle ayant un côté de longueur donnée et des angles égaux à ceux du triangle initial Wallis   Il existe deux triangles non égaux ayant leurs angles égaux. Saccheri   La somme des angles d'un (de tout) triangle est égale à deux droits. Saccheri   HAngl08c.fig (50 Ko) Les cas d'égalité des triangles

Un (tout) angle inscrit dans un demi-cercle est droit. Saccheri   Equiv01.fig Le cercle hyperbolique

La somme des angles d'un (de tout) quadrilatère est égale à quatre droits. Saccheri Equiv02.fig (PC) ou Equiv02M.fig (Mac) (quadrilatère ayant deux angles droits) Orthogonalité hyperbolique

Le parallélisme est une relation d'équivalence. Euclide   Ci-contre : (AB) // (CD) et (CD) // (EF) mais (AB) et (EF) sont sécantes. Droites hyperboliques

Deux droites qui se coupent ne peuvent être parallèles à une même droite. Al-Haytam   Lorsqu'une droite coupe l'une des parallèles, elle coupe l'autre aussi. Proclus

Un angle droit est inscrit dans un demi-cercle. Thalès Propriétée supposée connue de Thalès, deux siècles avant Euclide. La médiane d'un triangle rectangle est égale à la moitié de l'hypothènuse. Al-Gauhari Equiv03.fig (PC) ou Equiv03M.fig (Mac) Calcul de distances hyperboliques

Les droites parallèles sont équidistantes. Posidonius - Al Hayyam Equiv04.fig   La distance entre deux parallèles est bornée. Proclus - Al Hayyam   Si A ou B, ou encore M ou N se rapporche de l'horizon, la distance tend vers l'infini.

Par un point extérieur à une droite, il passe toujours une droite équidistante de la première. Aganis   Il existe trois points alignés équidistants d'une droite. Vitale Equiv05.fig (PC) ou Equiv05M.fig (Mac)

Le lieu des points équidistants d'une droite, et situé d'un même côté de cette droite est une droite. Posidonius - Al Haytam Equiv06.fig (PC) ou Equiv06M.fig (Mac) Remarque : puisque I est le centre du cercle gris, ce lieu est aussi l'enveloppe des cercles de même rayon et de centre un point de la droite (AB).

Dans une projection orthogonale des segments égaux se projettent selon des segments égaux. Aganis   Equiv07.fig Remarque : Saccheri obtiendra des inégalités précises sur la projection des milieux comme illustré ci-contre, en fonction de son hypothèse sur l'angle de son quadrilatère, ce qui lui permettra de rejeter l'hypothèse de l'angle obtus.

Par chaque point à l'intérieur d'un angle passe une droite qui coupe les deux côtés de l'angle. Al-Gauhari - Legendre   Equiv08.fig Note : pour l'illustration on a placé plusieurs droites, en pratique, sur la figure il suffit de faire tourner une droite autour du point pivot pour infirmer cette propriété euclidienne.

Une perpendiculaire et une oblique à une sécante commune se coupent. At-Tusi / Saccheri

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