Introduction aux GNE
Quelques équivalences du V° postulat
(d'aprés une compilation de Jean Luc Chabert)

 

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"Par énoncé équivalent au cinquième postulat on entend un énoncé qui aboutit à la même géométrie en remplaçant l'un par l'autre, ceci en utilisant les méthodes de démonstrations typiquement euclidiennes - et avec leurs présupposés implicites couramment utilisés"

L'avertissement de Jean Luc Chabert dans sa définition de l'équivalence est claire : on se place résolument dans le contexte d'Euclide, en particulier dans une géométrie archimédienne ... sinon ce n'est pas si simple ...

 

Dans le cadre de ces pages, orientées vers la pratique sur Cabri de modèles plans des géométries hyperboliques et elliptiques, nous mentionerons dans un premier temps les équivalences du V° postulat qui sont autant de réflexes à perdre en géométrie hyperbolique ou elliptique : l'équivalence signifiant que ces propriétés ne sont pas vraies dans ces deux autres géométries.

Les auteurs associés sont ceux chez qui cette question a été rencontrée en premier. Il est clair qu'en dehors des fondateurs des GNE et de Saccheri, ces auteurs n'ont pas été toujours conscients de ces équivalences. En effet, certaines de celles-ci ne sont apparues qu'à travers des études critiques de leurs écrits, en particulier en cherchant les erreurs de raisonnements cachées dans les preuves proposées. Ces différents cas sont abordés en détail dans les travaux de Jean Luc Chabert cités en référence.

 

Les illustrations de droite sont des infirmations de ces propriétés en géométrie hyperbolique, dans le modèle du disque de Poincaré. Des liens permettent d'accéder directement aux approches constructives mentionnées.

 

 

Trois points non alignés sont toujours cocycliques.

Bolyai

 

Ci-contre les médiatrices d'un triangle hyperbolique ne sont pas concourantes :
A, B et C ne sont donc pas cocycliques.

Médiatrice hyperbolique


 

Il existe des triangles d'aire aussi
grande que l'on veut.

Gauss

En gémétrie hyperbolique, l'aire est majorée par Pi - puisqu'elle vaut "Pi - somme des angles" - cette valeur Pi n'étant possible que pour des triangles d'angles nuls, et donc ayant leurs trois points idéaux, c'est-à-dire à l'infini sur l'horizon.

Mesurer des angles


 Pour tout triangle, il existe un triangle
ayant un côté de longueur donnée
et des angles égaux à ceux du triangle initial

Wallis

 

Il existe deux triangles non égaux
ayant leurs angles égaux.

Saccheri

 

La somme des angles d'un (de tout)
triangle est égale à deux droits.

Saccheri

 
HAngl08c.fig (50 Ko)

Les cas d'égalité des triangles


 

Un (tout) angle inscrit
dans un demi-cercle est droit.

Saccheri

 
Equiv01.fig

Le cercle hyperbolique


 

La somme des angles d'un (de tout)
quadrilatère est égale à quatre droits.

Saccheri

Equiv02.fig (PC) ou Equiv02M.fig (Mac)

(quadrilatère ayant deux angles droits)

Orthogonalité hyperbolique


 

Le parallélisme est une relation d'équivalence.

Euclide

 

Ci-contre : (AB) // (CD) et (CD) // (EF) mais (AB) et (EF) sont sécantes.

Droites hyperboliques

 

 

Autres équivalences rencontrées chez les différents auteurs qui ont essayé de montrer le V° postulat, ou de l'infirmer.

 

Deux droites qui se coupent ne peuvent
être parallèles à une même droite.

Al-Haytam

 

Lorsqu'une droite coupe l'une des parallèles,
elle coupe l'autre aussi.

Proclus


Un angle droit est inscrit dans un demi-cercle.

Thalès

Propriétée supposée connue de Thalès, deux siècles avant Euclide.

La médiane d'un triangle rectangle
est égale à la moitié de l'hypothènuse.

Al-Gauhari

Equiv03.fig (PC) ou Equiv03M.fig (Mac)

Calcul de distances hyperboliques


Les droites parallèles sont équidistantes.

Posidonius - Al Hayyam

Equiv04.fig

 

La distance entre deux parallèles est bornée.

Proclus - Al Hayyam

 
Si A ou B, ou encore M ou N se rapporche de l'horizon, la distance tend vers l'infini.


Par un point extérieur à une droite, il passe
toujours une droite équidistante de la première.

Aganis

 

Il existe trois points alignés
équidistants d'une droite.

Vitale

Equiv05.fig (PC) ou Equiv05M.fig (Mac)


Le lieu des points équidistants d'une droite,
et situé d'un même côté de cette droite
est une droite.

Posidonius - Al Haytam

Equiv06.fig (PC) ou Equiv06M.fig (Mac)

Remarque : puisque I est le centre du cercle gris, ce lieu est aussi l'enveloppe des cercles de même rayon et de centre un point de la droite (AB).


Dans une projection orthogonale des segments égaux se projettent selon des segments égaux.

Aganis

 
Equiv07.fig

Remarque : Saccheri obtiendra des inégalités précises sur la projection des milieux comme illustré ci-contre, en fonction de son hypothèse sur l'angle de son quadrilatère, ce qui lui permettra de rejeter l'hypothèse de l'angle obtus.


Par chaque point à l'intérieur d'un angle passe
une droite qui coupe les deux côtés de l'angle.

Al-Gauhari - Legendre

 
Equiv08.fig

Note : pour l'illustration on a placé plusieurs droites, en pratique, sur la figure il suffit de faire tourner une droite autour du point pivot pour infirmer cette propriété euclidienne.


Une perpendiculaire et une oblique
à une sécante commune se coupent.

At-Tusi / Saccheri

 

(d'aprés une compilation de Jean Luc Chabert)

 

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