Modèle hyperbolique de Poincaré
IV. Les angles

IV.2.a - Mesure et report d'angles - Macros de base

[IV.2.b. Constructions d'angles particuliers] [IV.2.c. Trigo hyperboliques] [IV.2.d. Triangles et isométries]

[IV.1 - Bissectrices ...] [IV.3 - Rotations] [IV.4 - Polygones réguliers] [IV.5 - Pavages]

[I. Introduction] [II. Les droites] [III. Cercles et distance] [V. Constructions] [VI. Exercices]

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Marque et mesure de l'angle hyperbolique AOB

a - Construction de base

On reprend la même construction que pour la bissectrice d'un angle. La mesure de l'angle hyperbolique AOB est la mesure de l'angle euclidien des tangentes UOV. Pour la marque, il est nécessaire de prendre quelques précautions pour que la mesure existe bien pour les petits angles ... et ne soit pas inversée.

HAngl06a.fig pour les détails de construction.

Selon le contexte d'utilisation, on peut envisager plusieurs macros pour obtenir l'angle et sa mesure en objets finaux :

Angle2AC.mac Objets initiaux : les deux arcs AO, OB, les deux centres respectifs IOA et IOB.
Remarque : cette macro ne sert que pour un seul angle car il faut que les segments aient été construits dans l'ordre AO et OB.

Angle3P.mac Objets initiaux : 3 points A, O, B et l'horizon. La macro ne construit pas les segments. (attention 61 objets intermédiaires !)

Angl3P2C.mac Objets initiaux les 3 points A, O, B, les deux centres IOA, IOB et l'horizon. (19 objets intermédiaires seulement)

SegAng3P.mac Objets initiaux : idem. Objets finaux : idem et en plus les deux segments et leurs centres.

Remarque : la marque verte produite ne montre qu'un angle inférieur à 180°. Il serait plus long de faire plus général pour une utilisation assez marginale, et les macros étant déjà assez lourdes ...

b - Le triangle et ses angles

HAngl06b.fig

Deux macros sont envisageables, optimisée ou non :

AnglTR6P.mac Objets initiaux A, B, C, les centres IAB, IBC, ICA, la macro renvoie les marques et les mesures des angles. (75 objets intermédiaires)

Tr3Ang3P.mac Objets initiaux A, B, C, et l'horizon. La macro renvoie le triangle, les marques et les mesures des angles, ainsi que les trois centres des côtés du triangle (180 objets intermédiaires).

La somme ne fait pas 180° ... bien sûr ...

 

Triangle avec trois sommets idéaux :
angles nuls et ... on le verra plus loin, aire maximale

HAngl06c.fig et HAngl06d.fig

c - Exemple d'utilisation immédiate

HAngl06e.fig (30 Ko)

 

Report d'un angle

a - Cas d'un angle géométrique (pour le principe)

 

Il s'agit de reporter l'angle géométrique AOB sur la demi-droite [MX). On peut utiliser la même démarche métrique que dans le cas euclidien puisqu'en géométrie hyperbolique deux triangles de côtés de même mesure ont les mêmes angles. Le cercle de centre M et de rayon OA coupe [MX) en N. les cercles de centre M et N de rayons respectifs OB et AB se coupent en R et S.

 

HAngl07a.fig ou la macro ReportHG.mac d'objets initiaux A, O, B, la demi-droite [MX) et l'horizon ("G" pour "géométrique").

Remarque : ce paragraphe est uniquement introductif au suivant, car la macro est inutilisable, elle prend environ 600 objets intermédiaires, et même en ne rendant qu'une seule demi-droite, on n'économise que 31 objets : il faut donc trouver autre chose ! (en fait, la macro Compas hyperbolique génère à elle seule 180 objets intermédiaires)

b - Cas d'un angle orienté

La construction d'un report d'angle orienté pourrait paraître plus longue, mais en fait - dans sa version optimisée - elle est plus de 15 fois plus efficace que le report géométrique ... et donne une information plus précise.

HAngl07b.fig
(pour d'autres considérations techniques)

Report de l'angle orienté AOB à partir du segment [MN| en M.

On note comme ci-dessus U et V les projections orthogonales euclidiennes de A et B sur les tangentes. Soit d1 la droite (OU) et d2 la bissectrice - euclidienne - de UOV, puis d'1 et d'2 les parallèles à ces deux droites passant par M. IMN est le centre du segment [MN] et W la projection de N sur la tangente au segment en M. W" est l'image par sd'2osd'1. Donc la tangente à la demi-droite du report de l'angle AOB est la droite (MW"). Le centre cherché I est aussi sur la médiatrice de [MM'], M' étant l'inverse de M par rapport à l'horizon.

La demi-droite solution est sur le cercle de centre I passant par M. Pour rendre toujours l'arc de cercle voulu, il convient d'être prudent. Ici par exemple on considère d'abord le demi-cercle d'extrémité M et son symétrique par rapport à I passant par l'intersection du cercle support avec la demi-droite [IW"). Ce demi-cercle coupe l'horizon en un seul point m. La demi-droite hyperbolique cherchée est donc [Mm) que l'on construit avec un point intermédiaire comme les segments hyperboliques.

Deux macros d'objet final la demi-droite [Mm) et son centre pour appliquer les macros optimales d'angle : la première est optimale (environ le tiers d'objets intermédiaires).

ReportO8.mac d'objets initiaux A, O, B, IOA, IOB, M, N, IMN et l'horizon (33 objets intermédiaires). "O8" poour "Orienté à 8 objets initiaux".

ReportO5.mac d'objets initiaux A, O, B, M, N et l'horizon (95 objets intermédiaires).

c - illustrations aux cas limites
Cas particulier où M est au centre de l'horizon : le centre de la demi-droite est à l'infini.
Entre les deux illustration, B est passé de l'autre côté de (OA), il en est de même de la demi-droite hyperbolique.

Ci-contre, cas où le sommet de l'angle est un point idéal, et donc cas où l'angle reporté est nul. On voit alors que la demi-droite est sur le segment de départ.

HAngl07c.fig (PC) ou HAngl07M.fig (Mac)

 

Un premier exemple d'illustration : les autres "cas d'égalité" des triangles ...

 

HAngl08a.fig

 

HAngl08b.fig

 

... mais les similitudes n'existent pas en géométrie hyperbolique

HAngl08c.fig (50 Ko)

 

 

 

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