La géométrie dite "non legendrienne" est une géométrie mise en évidence par Dehn dans son étude - sur proposition de Hilbert - sur le lien entre un théorème de Legendre (non supériorité à deux droits de la somme des angles d'un triangle) et son utilisation de l'axiome de continuité (axiome d'Archimède). Dehn a montré que ce résultat de Legendre exige cet axiome et pour cela il a élaboré une géométrie où par un point passe une infinité de paralllèle à une droite donné et vérifie par ailleurs les autres axiomes de la géométrie elliptique - et donc la somme des angles supérieure à deux droits (détails dans l'ouvrage de Paul Rossier p 278 et suivantes).

A partir de cette géométrie non legendrienne, on peut construire une autre géométrie dans laquelle les axiomes d'incidence, d'ordre et de congruence sont valables sans que celui de la continuité le soit. On y montre que la somme des angles d'un triangle est égal à deux droits mais que par un point, il passe plus d'une non sécante à une droite donnée. Ainsi, il existe une géométrie, dite "semi-euclidienne", non archimédienne, pour laquelle le postulat d'Euclide n'est pas vrai, mais dans laquelle la sommedes angles d'un triangle est néanmoins égale à deux droits. Autrement dit, il n'y a pas équivalence entre le postulat d'Euclide et la somme des angles d'un triangle, de même que, toujours sans la contiuité, il n'y a pas équivalence entre le postulat des parallèle et l'alignement des points équidistants d'une droite.

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