Gauss avait étudié la géométrie intrinsèque des surfaces. Son élève Bernhard Riemann (1826 - 1866) se propose d'étudier les rapports métriques dans les variétés de dimension multiple. Il s'intéresse en particulier aux variétés de courbure constante K.

Dans le cas des surfaces on obtient :

Pour K > 0 Les surfaces applicables sur une SPHERE de rayon k tel que K = 1/k2.		Pour K = 0 Les surfaces développables applicables sur un PLAN		Pour K < 0 Les surfaces applicables sur une PSEUDOSPHERE de "rayon ik" tel que K = -1/k2.
La somme des angles d'un triangle est :
> Pi sur la sphère Géométrie de RIEMANN		= Pi dans le plan Géométrie d'EUCLIDE		< Pi sur la pseudosphère Géométrie de LOBATCHEVSKY

Pseudosphère : surface ayant une courbure de Gauss constante négative (ici une tractrice construite avec la calculatrice de Cabri)

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