Sur les hypothèses qui servent de
fondements à la géométrie
Riemann (1854)

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Gauss avait étudié la géométrie intrinsèque des surfaces. Son élève Bernhard Riemann (1826 - 1866) se propose d'étudier les rapports métriques dans les variétés de dimension multiple. Il s'intéresse en particulier aux variétés de courbure constante K.

Dans le cas des surfaces on obtient :

Pour K > 0

Les surfaces applicables sur une

SPHERE

de rayon k tel que K = 1/k2.

Pour K = 0

Les surfaces développables applicables sur un

PLAN

Pour K < 0

Les surfaces applicables sur une

PSEUDOSPHERE

de "rayon ik" tel que K = -1/k2.

La somme des angles d'un triangle est :

> Pi sur la sphère

Géométrie de RIEMANN

= Pi dans le plan

Géométrie d'EUCLIDE

< Pi sur la pseudosphère

Géométrie de LOBATCHEVSKY

Pseudosphère : surface ayant une courbure de Gauss constante négative (ici une tractrice construite avec la calculatrice de Cabri)

 

 

 

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