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Toutes les macros proposées dans cette page sont déjà présentes dans la barre de menu du modèle de Klein-Beltrami.
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A, B étant donnés et C sur (AB). A partir de tout point M d'une droite d passant par A, autre que (AB), on construit l'intersection U de (MC) et de d', parallèle à d passant par B. Soit alors V le symétrique de U par rapport à B. La droite (MV) coupe (AB) en un point D indépendant du point M et de la droite d. D est le conjugué harmonique de C par rapport à (A,B). Et on a  |
Pour d'évidentes raisons de symétries dans l'écriture du birapport, on dit que les couples (A, B) et (C, D) sont en division harmonique.
Si on transforme cette figure en macro, on pourra observer qu'elle a un bon comportement à l'infini : si C est le milieu de [AB], on peut facilement vérifier que D existe à l'infini dans la direction de (AB), ou encore si on fait aller C à l'infini, on vérifie que D est bien milieu de [AB]. Toutefois, cette constructon ne sera pas suffisante dans nos utilisations pratiques : si on veut que la symétrie orthogonale du modèle KB fonctionne dans tous les cas, nous avons besoin que la macro division harmonique ait un comportement valide aussi si A est à l'infini. Or, dans la figure ci-dessus, le point sur objet de d qui devient la droite à l'infini disparaît. Si on essaie d'améliorer cette construction en prenant des points à distance finie, préconstruits, toujours existants, cela ne fonctionne pas non plus.
Pour réaliser une figure dans laquelle trois des 4 points considérés peuvent aller à l'infini, il faut s'y prendre autrement. On utilise pour cela une propriété des quadrilatères complets relative à la division harmonique (voir lien ci-dessous). Avec la construction suivante, on a une solution plus générale pour la division harmonique, satisfaisante aux exigences de passage à l'infini dans la géométrie hyperbolique du modèle de Klein Beltrami.
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Détail de la construction (un autre enchaînement peut faire perdre le bon fonctionnement quand A est à l'infini). A et B sont donnés, C est un
point de (AB). On donne A, B, C dans cet ordre. B doit rester fini, A ou C peuvent aller à l'infini. |
Plus de propriétés sur la division harmonique, pôles et polaires (dont celle utilisée pour la macro ci-dessus)
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Etant donnés un cercle C et une droite d, on trace l'intersection H de d et de sa perpendiculaire passant par le centre du cercle. Cette dernière coupe le cercle en A et B. On appelle Pôle de d par rapport à C le conjugué harmonique P de H par rapport à (A, B).
Remarque : dans la page liée ci-dessus, on trouvera la notion de pôle et polaire dans un cadre plus général : par rapport à des droites sécantes, qui sont des coniques dégénérées, et ensuite par rapport à une conique et enfin par rapport à un cercle, comme conique (affine ou projective) particulière. |
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Une propriété du pôleOn se servira essentiellement dans le modèle de Klein-Beltrami du cas où la droite coupe le cercle en deux points U et V. Alors dans ce cas le pôle de la droite n'est autre que l'intersection des tangentes au cercle en U et V, ce que l'on peut montrer par les relations métriques dans le triangle rectangle. On retrouve que si H est en O, P est à l'infini dans la direction de (AB). |
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C'est la définition réciproque : à partir de P on onstruit la droite (OP) et H conjugué harmonique de P par rapport à A et B. La polaire est la perpendiculaire à (OP) en H. La polaire existe quand P est à l'infini - c'est un diamètre - quand P est sur le cercle (ce sera un point idéal du modèle de Klein-Beltrami) et alors c'est la tangente au cercle en ce point. Elle n'existe pas quand P est en O. Il semble que les trois cas n'étaient pas réalisables simultanément. Ce dernier cas semble marginal dans le cadre de la géométrie hyperbolique, la polaire étant la droite de l'infini. |
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Etant donnés une droite d un point P, l'application qui à un point M du plan associe le point M' conjugué harmonique de M par rapport à P et I où I est l'intersection de (PM) et de d s'appelle l'homologie harmonique d'axe d et de pôle P. L'homologue harmonique, dans cette macro, existe si M est milieu de [PI] ou si M est à l'inifini, mais également si P est à l'infini. Dans le cas où (PM) // d, M' existe encore, et c'est le symétrique de M par rapport à P. |
Quelques propriétés de l'homologie harmonique :Elle est involutive et conserve le contact. Les points de l'axe (d) sont invariants et les droites passant par le centre O sont globalement invariantes.
Elle conserve le birapport de 4 points alignés (donc la conjugaison harmonique) et la polarité.
Soit A un point. Une conique est globalement invariante par l'homologie de centre A et d'axe la polaire de A par rapport à cette conique.C'est cette dernière propriété qui fait des homologies harmoniques d'axe une droite coupant le cercle et de centre le pôle de son axe les symétries orthogonales du modèle de Klein Beltrami.
Elle permet de transformer un cercle en une conique des trois types affines.
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Cette construction est la seule de cette page qui soit déjà orientée vers le modèle de Klein-Beltrami dans la mesure où il y a une infinité d'homologies harmoniques échangeant A en B, y compris d'axes passant par P ci-contre, mais une seule laisse le cercle horizon invariant : c'est celle que l'on veut construire. A et B étant donnés, on construit le pôle P de la droite (AB), puis M et N intersection du cercle avec (PA) et (PB), et Q intersection de (MN) et (AB). Alors l'axe cherché les la polaire de Q par rapport au cercle.
L'axe existe si l'un des deux points est le centre du cercle (important pour les mesures d'angles ou la présentation du cercle hyperbolique). Il existe aussi quand A, O, B sont alignés (un pôle est à l'infini) y compris quand O est milieu de [AB]. L'axe existe aussi quand A et B sont idéaux pour le modèle hyperbolique, c'est-à-dire sur le cercle. |
La construction précédente est basée sur les propriétés des homologies harmoniques déjà mentionnées.La figure ci-dessous illustre qu'une seule homologie harmonique échangeant A en B - et d'axe passant par le pôle de (AB) par rapport au cercle, laisse ce cercle invariant et donc peut prétendre à être une isométrie du modèle de Klein-Beltrami.
Bien-sûr cet axe est la médiatrice hyperbolique de [AB] pour le modèle de Klein-Beltrami, d'où la précaution de construction ...
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