Centre d'Euler d'un quadrilatère

3 - Centre de l'hyperbole équilatère passant par A, B, C, D

[1 - Définition et propriétés] [2 Preuve de l'existence]
[4 - Preuve dans le cas du quadrilatère inscrit] [5 - Itération de la construction]
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Principe de la preuve | Preuve géométrique | Preuve analytique | Compléments

Résultat et principe de la preuve

On se propose de montrer le résultat suivant :

Le centre d'Euler d'un quadrilatère ABCD est aussi le centre d'une hyperbole équilatère passant par les 4 points A, B, C et D.

Euler02.fig

Pour cela, nous allons montrer un résultat dû à Poncelet et Brianchon : si une hyperbole équilatère passe 3 points d'un triangle, alors son centre est sur le cercle d'Euler du triangle.

Il est clair que le résultat en découle.

On notera que si le quadrilatère n'est pas ortocentrique, l'hyperbole équilatère est unique, sinon il y en a une infinité.

On peut également remarquer que le quadrilatère des orthocentres est aussi sur l'hyperbole.

Preuve géométrique (proposée par Géry Huvent)

La preuve géométrique est plus longue que celle analytique car nous commençons par montrer une caractérisation angulaire de l'hyperbole équilatère, alors que l'on ne remontre pas l'équation réduite de l'hyperbole ramenée à ses asymptotes.

Principe de la preuve | Preuve géométrique | Preuve analytique | Compléments

Vous pouvez charger l'article complet de Géry Huvent - avec preuve des rappels et des compléments non développés ici - dans les deux formats OrthocentreGH.dvi (16 Ko) ou orthocentreGH.PDF (206 Ko), les deux contenant les illustrations.

PropHypG.fig

On suppose connue cette propriété générale des sécantes aux hyperboles et à leurs asymptotes :

Si une droite d coupe une hyperbole en P et Q, et ses asymptotes en R et S, alors [PQ] et [RS] ont même milieu.

Rappelons que cette propriété permet par exemple de construire avec Cabri une hyperbole connaissant ses asymptotes et un point, ce que l'on a déjà utilisé plusieurs fois dans abraCAdaBRI.

Cette propriété, affine, permet quelques développements intéressants dans le cas particulier - euclidien - où l'hyperbole est équilatère : les asymptotes étant orthogonales ...

Caractérisation angulaire de l'hyperbole équilatère

PropHE01.fig

Sens direct

On considère une hyperbole équilatère de centre O passant A. A' est le symétrique de A par rapport à O et B un autre point de l'hyperbole. La droite (AB) coupe les asymptotes en P et Q.

POQ est rectangle en O. Soit K le milieu de [AB] Par le théorème des milieux (ou Thalès) (OK) // (A'B). Or comme K est aussi milieu de [PQ], c'est le centre du cercle circonscrit à POQ, et donc le triangle KPO est isocèle en K.

On en déduit la relation angulaire (en angles de droites) :

(Ox, AB) = (A'B, Ox)

Sens réciproque

On considère l'hyperbole équilatère de diamètre (AA') et d'asymptote (Ox)

Soit M un point (différent de A et de A') tel que (Ox, AM) = (A'M, Ox). Alors la droite (AM) coupe l'hyperbole en un autre point B (différent de A') qui vérifie la même propriété angulaire d'après le sens direct : (Ox, AB) = (A'B, Ox). Puisque M appartient à la droite (AB), on a alors les égalités d'angles de droites : (A'M, Ox) = (Ox, AM) = (Ox, AB) = (A'B, Ox).
Il en résulte que (A'M) = (A'B). Comme déjà (AM) = (AB), M est à l'intersection des droites (A'B) et (AB), M est le point B, et donc M appartient à l'hyperbole équilatère. D'où la caractérisation :

Un point M est sur l'hyperbole équilatère de diamètre [AA'] et d'asymptote (Ox) ssi (Ox, AM) = (A'M, Ox).

Deux conséquences à cette caractérisation

PropHE02.fig

Corollaire 1 :

Le lieu des point C tels que (AB, AC) = (A'C, A'B) - en angles de droites - est l'hyperbole équilatère de diamètre [AA'] passant par B.

Construction ci-contre : à partir de A, A', et B on peut constuire les asymptotes (par K, P et Q), puis deux autres points de l'hyperbole A₁ et A₂. Sur un cercle centré en A, un paramètre t permet de construire tous les points C tel que (AB, AC) = (A'C, A'B). On vérifie alors - par le vérificateur de propriété de Cabri - que C est sur l'hyperbole.

On aurait pu faire une figure donnant le lieu de C et vérifier que c'est une hyperbole équilatère de centre le milieu de [AA'], passant par les trois points A, A' et B.

Preuve : par la relation de Chasles sur les angles de droites, en utilisant la relation angulaire pour B.

PropHE03.fig

Corollaire 2 :

L'orthocentre H d'un triangle ABC inscrit dans une hyperbole équilatère appartient à cette hyperbole.

Preuve : (HC, HB) = (AB, AC) par angles à côtés perpendiculaires. Et donc d'après le corollaire précédent (HC) = (HB) = (A'C, A'B) : les 4 points B, H, A', C sont cocycliques. Il en résulte que (A'H, A'B) = (CH, CB). Or (CH, CB) = (AB, AH) par angles à côtés perpendiculaires, d'où (A'H, A'B) = (AB, AH). Soit, d'après le corollaire ci-dessus : H appartient à l'hyperbole équilatère de diamètre [AA'] passant par B, c'est-à-dire l'hyperbole équilatère de départ.

Remarque : comme on sait que le symétrique de l'orthocentre par rapport à un côté est sur le cercle circonscrit au triangle, le cercle circonscrit à B, C et H est le symétrique du cercle circonscrit à ABC par rapport à (BC).

Preuve de l'appartenance du centre de l'hyperbole au cercle d'Euler d'un triangle inscrit

PropHE04.fig

L'homothétie de centre A et de rapport 1/2 transforme B et C en les milieux I et J des côtés [AB] et [AC]. Elle transforme H en le milieu K de [AH].

Or le cercle circonscrit à I, J, et K n'est rien d'autre que le cercle d'Euler (dit aussi "des 9 points") du triangle ABC.

Comme on vient de voir à la figure précédente que B, A', H et C sont cocyclique, par homothétie, le milieu O de [AA'] appartient au cercle d'Euler.

Et ainsi :

Le centre d'un hyperbole équilatère est sur le cercle d'Euler de tout triangle inscrit dans cette hyperbole.

Ceci suffit à prover que le centre d'Euler d'un quadrilatère est le centre de l'hyperbole équilatère passant par ces quatre points.

Signalons que Géry Huvent a proposé d'autres conséquences dans son article, qui seront mises en ligne ultérieurement dans abraCAdaBRI. Il a aussi proposé d'autres commentaires sur le cas particulier où le quadrilatère ABCD est incriptible dans un cercle.

Preuve analytique (proposée par Pierre Delezoïde)

Principe de la preuve | Preuve géométrique | Preuve analytique | Compléments

CHypEul1.fig
ABC est un triangle de centre de cercle circonscrit "Oméga" (W dans la suite du texte), d'isobarycentre G d'orthocentre H. On note "oméga" (w dans la suite) le centre du cercle d'Euler. Soit (H) une hyperbole équilatère passant par A, B, et C. Notons O son centre. (H) recoupe le cercle circonscrit (C) en un quatrième point M.

Dans un repère normé de centre O dont les axes sont les asymptotes de (H), l'équation de (H) est xy = a. Puisqu'elle est équilatère, le repère est orthonormé et donc l'équation du cercle (C) est de la forme : x² + y² - 2ux -2vy + c = 0. Son centre W est donc de coordonnées (u, v).

En écrivant y = a/x, l'équation de l'intersection (du 4° degré) en x, il est facile d'en déduire que la somme des abscisses des 4 intersections est 2u (par le coefficient de X³). De même en écrivant x = a/y, on en déduit que la somme des ordonnées des 4 intersections est 2v. Il en résulte alors que :

Et donc

En utilisant la relation d'Euler on arrive à

Et donc M et H sont symétriques dans la symétrique de centre O, centre de l'hyperbole.

Remarque : cette première partie montre en même temps que l'orthocentre d'un triangle formé de trois points d'une hyperbole équilatère appartient à cette hyperbole.

On sait de plus que w est milieu de [HW], ou encore . Et donc l'homothétie de centre H et de rapport 1/2 transforme le cercle circonscrit (C) en le cercle d'Euler (E). Dans cette homothétie, O est l'image de M, et ainsi :

Le cente d'une hyperbole équilatère passant par trois points ABC appartient au cercle d'Euler de ce triangle.

On a alors vu qu'il en résultait que le centre d'Euler d'un quadrilatère est le centre de l'hyperbole équilatère passant par ces 4 points.

Illustration d'une remarque précédente et complément

Principe de la preuve | Preuve géométrique | Preuve analytique | Compléments

Le quadrilatère des orthocentres admet la même hyperbole, puisque l'orthocentre d'un triangle de 3 points d'une hyperbole équilatère est un point de l'hyperbole. Ci-dessous les commentaires sont ceux de l'item "Appartenance" de Cabri.

Euler04.fig

On peut observer également la propriété suivante (commentaires des items "Propriétés" de Cabri), que nous montrerons avec les résultats de la page 4 (ci dessous D est redéfini comme appartenant au cercle circonscrit à ABC) :

Principe de la preuve | Preuve géométrique | Preuve analytique | Compléments

[1 - Définition et propriétés] [2 Preuve de l'existence]
[4 - Preuve dans le cas du quadrilatère inscrit] [5 - Itération de la construction]

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Résultat et principe de la preuve

On se propose de montrer le résultat suivant :

Le centre d'Euler d'un quadrilatère ABCD est aussi le centre d'une hyperbole équilatère passant par les 4 points A, B, C et D.

Pour cela, nous allons montrer un résultat dû à Poncelet et Brianchon : si une hyperbole équilatère passe 3 points d'un triangle, alors son centre est sur le cercle d'Euler du triangle.

Il est clair que le résultat en découle.

On notera que si le quadrilatère n'est pas ortocentrique, l'hyperbole équilatère est unique, sinon il y en a une infinité.

On peut également remarquer que le quadrilatère des orthocentres est aussi sur l'hyperbole.

Preuve géométrique (proposée par Géry Huvent)

Vous pouvez charger l'article complet de Géry Huvent - avec preuve des rappels et des compléments non développés ici - dans les deux formats OrthocentreGH.dvi (16 Ko) ou orthocentreGH.PDF (206 Ko), les deux contenant les illustrations.

On suppose connue cette propriété générale des sécantes aux hyperboles et à leurs asymptotes :

Si une droite d coupe une hyperbole en P et Q, et ses asymptotes en R et S, alors [PQ] et [RS] ont même milieu.

Rappelons que cette propriété permet par exemple de construire avec Cabri une hyperbole connaissant ses asymptotes et un point, ce que l'on a déjà utilisé plusieurs fois dans abraCAdaBRI.

Cette propriété, affine, permet quelques développements intéressants dans le cas particulier - euclidien - où l'hyperbole est équilatère : les asymptotes étant orthogonales ...

Caractérisation angulaire de l'hyperbole équilatère

Sens direct

On considère une hyperbole équilatère de centre O passant A. A' est le symétrique de A par rapport à O et B un autre point de l'hyperbole. La droite (AB) coupe les asymptotes en P et Q.

POQ est rectangle en O. Soit K le milieu de [AB] Par le théorème des milieux (ou Thalès) (OK) // (A'B). Or comme K est aussi milieu de [PQ], c'est le centre du cercle circonscrit à POQ, et donc le triangle KPO est isocèle en K.

On en déduit la relation angulaire (en angles de droites) :

(Ox, AB) = (A'B, Ox)

Sens réciproque

On considère l'hyperbole équilatère de diamètre (AA') et d'asymptote (Ox)

Un point M est sur l'hyperbole équilatère de diamètre [AA'] et d'asymptote (Ox) ssi (Ox, AM) = (A'M, Ox).

Deux conséquences à cette caractérisation

Corollaire 1 :

Le lieu des point C tels que (AB, AC) = (A'C, A'B) - en angles de droites - est l'hyperbole équilatère de diamètre [AA'] passant par B.

Corollaire 2 :

L'orthocentre H d'un triangle ABC inscrit dans une hyperbole équilatère appartient à cette hyperbole.

Preuve de l'appartenance du centre de l'hyperbole au cercle d'Euler d'un triangle inscrit

L'homothétie de centre A et de rapport 1/2 transforme B et C en les milieux I et J des côtés [AB] et [AC]. Elle transforme H en le milieu K de [AH].

Or le cercle circonscrit à I, J, et K n'est rien d'autre que le cercle d'Euler (dit aussi "des 9 points") du triangle ABC.

Comme on vient de voir à la figure précédente que B, A', H et C sont cocyclique, par homothétie, le milieu O de [AA'] appartient au cercle d'Euler.

Et ainsi :

Le centre d'un hyperbole équilatère est sur le cercle d'Euler de tout triangle inscrit dans cette hyperbole.

Preuve analytique (proposée par Pierre Delezoïde)

Dans un repère normé de centre O dont les axes sont les asymptotes de (H), l'équation de (H) est xy = a. Puisqu'elle est équilatère, le repère est orthonormé et donc l'équation du cercle (C) est de la forme : x2 + y2 - 2ux -2vy + c = 0. Son centre W est donc de coordonnées (u, v).

Et donc

En utilisant la relation d'Euler on arrive à

Et donc M et H sont symétriques dans la symétrique de centre O, centre de l'hyperbole.

Remarque : cette première partie montre en même temps que l'orthocentre d'un triangle formé de trois points d'une hyperbole équilatère appartient à cette hyperbole.

On sait de plus que w est milieu de [HW], ou encore . Et donc l'homothétie de centre H et de rapport 1/2 transforme le cercle circonscrit (C) en le cercle d'Euler (E). Dans cette homothétie, O est l'image de M, et ainsi :

Le cente d'une hyperbole équilatère passant par trois points ABC appartient au cercle d'Euler de ce triangle.

On a alors vu qu'il en résultait que le centre d'Euler d'un quadrilatère est le centre de l'hyperbole équilatère passant par ces 4 points.

Illustration d'une remarque précédente et complément

Le quadrilatère des orthocentres admet la même hyperbole, puisque l'orthocentre d'un triangle de 3 points d'une hyperbole équilatère est un point de l'hyperbole. Ci-dessous les commentaires sont ceux de l'item "Appartenance" de Cabri.

On peut observer également la propriété suivante (commentaires des items "Propriétés" de Cabri), que nous montrerons avec les résultats de la page 4 (ci dessous D est redéfini comme appartenant au cercle circonscrit à ABC) :

Menu général

Dans un repère normé de centre O dont les axes sont les asymptotes de (H), l'équation de (H) est xy = a. Puisqu'elle est équilatère, le repère est orthonormé et donc l'équation du cercle (C) est de la forme : x² + y² - 2ux -2vy + c = 0. Son centre W est donc de coordonnées (u, v).