Construction de triangle rectangle

Introduction

En attendant la mise en ligne de la partie "axiomatique de Bachmann", voici quelques figures sur les faisceaux de Bachmann. Rappelons la définition de Bachmann des faisceaux :

Trois droites sont dites en faisceau si la composée des trois symétries orthogonales est une symétrie orthogonale. L'axiomatique de Bachmann repose - entre autre - sur deux axiommes : que 3 droites concourantes ou ayant une perpendiculaire commune sont en faisceau. Mais en géométrie hyperbolique il existe aussi une autre possibilité d'être en faisceau (dit alors sans support) : les droites parallèles au sens de Lobachevsky.

Nous reviendrons largement sur ces faisceaux. Illustrons simplement ici que cette notion est l'extention naturelle de la situation bien paticulière de la géométrie euclidienne. Nous allons donc voir le cas des hauteurs, des bissectrices ... et du point de Gergonne pour les faisceaux.

Les hauteurs d'un trilatère sont en faisceau

Cercle inscrit et point de Gergonne d'un trilatère

Cas de trois faisceaux sans support

Dans cette figure, on fait la jonction entre les deux précédentes là où ils se rencontrent : sur les points idéaux du modèle. On retrouve un résultat que l'on rapprochera - c'est le même dans un autre vocabulaire - de celui déjà vu aussi bien dans le demi-plan de Poincaré que dans le modèle de Klein-Beltrami.

Preuve du résultat (et illustration statique ) dans abraCAdaBRI dans le modèle de Klein-Beltrami - on trouve alors 4 ln Phi

Construction de triangle rectangle