Aspect projectif des coniques Transformation d'un cercle en une conique

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Préambule et résultat théorique

La transformation la plus simple qui permette de transformer un cercle en une conique quelconque est l'homologie harmonique. Les résultats décrits ci-dessous sont de Chasles : une droite passant par le centre O d'une homologie harminque coupant son axe d en M envoie le milieu de [OM] à l'infini. L'homologie harmonique transforme donc l'homothétique d' de l'axe d, dans l'homothétie de centre O de rapport 1/2 en la droite de l'infini. Alors :

• Si le cercle C coupe d' en deux points, la transformée du cercle rencontre la droite de l'infini en deux points : c'est une hyperbole.
• Si le cercle C ne coupe pas d', la transformée du cercle ne rencontre pas la droite de l'infini : c'est une ellipse.
• Si le cercle C est tangent à d', la transformée du cercle est une conique tangente à la droite de l'infini : c'est une parabole.

On trouvera aussi une preuve analytique dans le récent ouvrage sur la perspective - et Cabri - de Consolato Pellegrino (Décembre 99) : "Perspectiva : il punto di vista della geometria".

Transformation d'un cercle en conique à centre

Notation : soit une homologie harmonique de pole O, d'axe d, et C un cercle. On cherche à savoir quand l'image du cercle par cette homologie harmonique est une ellipse, une hyperbole ou une parabole. On note d' l'homothétie de d dans l'homothétie de centre O de rapport 1/2.

Comme rappelé en préambule, si la droite d' coupe le cercle en 2 points l'image du cercle est une nyperbole. Si la droite d' ne rencontre pas le cercle, la conique est une ellipse, et ...

Transformation d'un cercle en parabole

... si la droite d' est tangente au cercle c'est une parabole.