Les coniques - Aires et ellipses de Steiner

[Liste des constructions affines] [Liste des constructions euclidiennes] [Coniques dans abraJava]

 Aire et transformations affines | Hyperbole équilatère

 

 

Ellipse de Steiner inscrite

 

 

Ellipse de Steiner circonscrite

 

Indications de preuve (méthode due à Steiner)

Soit ABC un triangle, on note a, b, c la longueur des côtés opposés à A, B, C, p le demi-périmètre et S son aire. On commence par montrer les résultats suivants :

et avec égalité (dans les deux cas) ssi le triangle est équilatéral.

On en déduit alors, en notant R et r les rayons des cercles circonscrits et inscrits, que avec égalité (dans les deux cas) ssi le triangle est équilatéral.

Il en résulte alors, par transformation affine d'un triangle équilatéral en un triangle quelconque, de par la conservation du rapport d'aire par une transformation affine - page précédente - les deux théorèmes suivant :

Théorème 1 : Soit E une ellipse, d'aire SE, circonscrite à un triangle T d'aire ST. Il résulte de ce qui précède que le rapport SE /ST est supérieur ou égal à avec égalité ssi le centre de l'ellipse est l'isobarycentre du triangle.

Théorème 2 : Soit E une ellipse, d'aire SE, inscrite à un triangle T d'aire ST. Il résulte de ce qui précède que le rapport SE /ST est inférieur ou égal à avec égalité ssi le centre de l'ellipse est l'isobarycentre du triangle.

De ces deux théorèmes découle l'existence et l'unicité des deux ellipses de Steiner.

 

 

 

 Aire et transformations affines | Hyperbole équilatère

[Liste des constructions affines] [Liste des constructions euclidiennes] [Coniques dans abraJava]

Retour sur abraCAdaBRI

Retour sur "abra-Java"