Les coniques - Aires et ellipses de Steiner

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 Aire et transformations affines | Hyperbole équilatère

Ellipse de Steiner inscrite

Ellipse de Steiner circonscrite

 

Indications de preuve (méthode due à Steiner)

Soit ABC un triangle, on note a, b, c la longueur des côtés opposés à A, B, C, p le demi-périmètre et S son aire. On commence par montrer les résultats suivants :

et avec égalité (dans les deux cas) ssi le triangle est équilatéral.

On en déduit alors, en notant R et r les rayons des cercles circonscrits et inscrits, que avec égalité (dans les deux cas) ssi le triangle est équilatéral.

Il en résulte alors, par transformation affine d'un triangle équilatéral en un triangle quelconque, de par la conservation du rapport d'aire par une transformation affine - page précédente - les deux théorèmes suivant :

Théorème 1 : Soit E une ellipse, d'aire S_E, circonscrite à un triangle T d'aire S_T. Il résulte de ce qui précède que le rapport S_E /S_T est supérieur ou égal à avec égalité ssi le centre de l'ellipse est l'isobarycentre du triangle.

Théorème 2 : Soit E une ellipse, d'aire S_E, inscrite à un triangle T d'aire S_T. Il résulte de ce qui précède que le rapport S_E /S_T est inférieur ou égal à avec égalité ssi le centre de l'ellipse est l'isobarycentre du triangle.

De ces deux théorèmes découle l'existence et l'unicité des deux ellipses de Steiner.

 

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