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Source : article de Géry Huvent, rédigé à l'attention d'abraCAdaBRI
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Les angles sont des angles de droite Théorème : Un point M est sur l'hyperbole équilatère de diamètre [AA'] de centre O et d'asymptote (Ox) ssi (Ox, AM) = (A'M, Ox).Sens directOn considère une hyperbole équilatère de centre O passant A. A' est le symétrique de A par rapport à O et B un autre point de l'hyperbole. La droite (AB) coupe les asymptotes en P et Q. POQ est rectangle en O. Soit K le milieu de [AB] Par le théorème des milieux (ou Thalès) (OK) // (A'B). Or comme K est aussi milieu de [PQ], c'est le centre du cercle circonscrit à POQ, et donc le triangle KPO est isocèle en K. On en déduit la relation angulaire (en angles de droites) : (Ox, AB) = (A'B, Ox) |
Sens réciproque
On considère l'hyperbole équilatère de diamètre (AA') et d'asymptote (Ox)
Soit M un point (différent de A et de A') tel que (Ox, AM) = (A'M, Ox). Alors la droite (AM) coupe l'hyperbole en un autre point B (différent de A') qui vérifie la même propriété angulaire d'après le sens direct : (Ox, AB) = (A'B, Ox). Puisque M appartient à la droite (AB), on a alors les égalités d'angles de droites : (A'M, Ox) = (Ox, AM) = (Ox, AB) = (A'B, Ox).
Il en résulte que (A'M) = (A'B). Comme déjà (AM) = (AB), M est à l'intersection des droites (A'B) et (AB), M est le point B, et donc M appartient à l'hyperbole équilatère. D'où la caractérisation enoncée ci-dessus
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Le lieu des point C tels que (AB, AC) = (A'C, A'B) - en angles de droites - est l'hyperbole équilatère de diamètre [AA'] passant par B.Construction ci-contre : à partir de A, A', et B on peut constuire les asymptotes (par K, P et Q), puis deux autres points de l'hyperbole A1 et A2. Sur un cercle centré en A, un paramètre t permet de construire tous les points C tel que (AB, AC) = (A'C, A'B). On vérifie alors - par le vérificateur de propriété de Cabri - que C est sur l'hyperbole. On aurait pu faire une figure donnant le lieu de C et vérifier que c'est une hyperbole équilatère de centre le milieu de [AA'], passant par les trois points A, A' et B. Preuve : par la relation de Chasles sur les angles de droites, en utilisant la relation angulaire pour B. Remarque : ici ce sont les angles de droite, ci-contre des angles de vecteurs, chacun fera la conversion (lors de l'animation du point t par exemple). |
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L'orthocentre H d'un triangle ABC inscrit dans une hyperbole équilatère appartient à cette hyperbole.Preuve : (HC, HB) = (AB, AC) par angles à côtés perpendiculaires. Et donc d'après le corollaire précédent (HC) = (HB) = (A'C, A'B) : les 4 points B, H, A', C sont cocycliques. Il en résulte que (A'H, A'B) = (CH, CB). Or (CH, CB) = (AB, AH) par angles à côtés perpendiculaires, d'où (A'H, A'B) = (AB, AH). Soit, d'après le corollaire ci-dessus : H appartient à l'hyperbole équilatère de diamètre [AA'] passant par B, c'est-à-dire l'hyperbole équilatère de départ. Remarque : comme on sait que le symétrique de l'orthocentre par rapport à un côté est sur le cercle circonscrit au triangle, le cercle circonscrit à B, C et H est le symétrique du cercle circonscrit à ABC par rapport à (BC). |
L'homothétie de centre A et de rapport 1/2 transforme B et C en les milieux I et J des côtés [AB] et [AC]. Elle transforme H en le milieu K de [AH].
Or le cercle circonscrit à I, J, et K n'est rien d'autre que le cercle d'Euler (dit aussi "des 9 points") du triangle ABC.
Comme on vient de voir à la figure précédente que B, A', H et C sont cocyclique, par homothétie, le milieu O de [AA'] appartient au cercle d'Euler.
Et ainsi :
Le centre d'un hyperbole équilatère est sur le cercle d'Euler de tout triangle inscrit dans cette hyperbole.
Ceci suffit à prover que le centre d'Euler d'un quadrilatère est le centre de l'hyperbole équilatère passant par ces quatre points.
Ci-contre on observera que le centre O appartient toujours au cercle d'Euler quand A varie sur l'hyperbole. (Un léger disfonctionnement peut apparaît parfois, en cours de révision)
Géry Huvent travaille a depuis proposé un autre article à abraCAdaBRI (toukours sur l'hyperbole équilatère) dont les illustrations en CabriJava sont ici.
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