Les coniques - Aires et transformations affines

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Aire et ellipses de Steiner | Hyperbole équilatère

Considérations générales

En dimension 2, si les notions d'aires (algébrique ou géométrique) sont euclidiennes, la notion de rapport d'aires algébrique peut être considéré comme une notion affine puisqu'elle est essentiellement un barycentre :

Si désigne l'aire algébrique d'un triangle (dans un repère orthonormé), et que M, N et P soient de coordonnées barycentriques normalisées (x_i, y_i, z_i) dans un repère affine ABC, on sait que le rapport d'aire algébrique entre les triangles MNP et ABC vaut :

Les coordonnées barycentriques étant conservées par une application affine, et l'image d'un repère affine étant un repère affine pour une transformation, la notion de rapport d'aire peut être considérée comme une propriété (des transformations) affine(s).

Point de vue vectoriel :

Si (u, v) est une base du plan vectoriel associé et f l'application linéaire associée à l'application affine considérée, on sait que det(f(u), f(v)) = det f. det (u, v). Or le déterminant - au coefficient 2 près, et dans une base orthonormale - est l'aire algébrique du triangle affine qu'il défini. Il en résulte - par la théorie de la mesure puisque c'est vrai pour les triangles - qu'une transformation affine multiplie les aires algébriques (respectivement géométriques) par le déterminant (respectivement sa valeur absolue) de l'application linéaire associée.

Cette page vous propose quelques illustrations autour de cette conservation.

Conservation du rapport d'aire d'un triangle à son cercle inscrit

Transformations affines de déterminant 1 : elles conservent les aires.

Exemple de la transvection

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