Lazare Nicholas Marguerite Carnot (1753-1823) a mené en parallèle une carrière militaire et politique sous la Révolution et l'Empire, et des recherches en mathématiques. Dans ce dernier domaine, c'est surtout en géométrie qu'il s'est illustré. Ses découvertes ont été publiées dans trois ouvrages : De la corrélation des figures de géométrie (1801), Géométrie de position (1803), Essai sur le théorie des transversales (1806). Le nom de Carnot est principalement resté attaché à un théorème qui apparaît dans l'Essai de 1806 et qui constitue une généralisation d'un ancien résultat de Menelaüs d'Alexandrie : Étant donnée une courbe algébrique quelconque de degré n qui coupe un triangle ABC, soit A1 (resp. B1 et C1) le produit des n distances, réelles ou imaginaires, de A (resp. B et C) aux n points d'intersection de la courbe avec le côté AB (resp. BC et CA), et soient de même A2, B2 et C2 les produits semblables associés aux côtés AC, BA et CB. Alors A1 B1 C1 = A2 B2 C2. Si la courbe est une droite, on retrouve le théorème de Menelaüs. Si la courbe est une cubique, on déduit du théorème de Carnot que les trois points d'inflexion de la courbe sont alignés, ce qui avait déjà été observé par Newton. De son côté, Brianchon a appliqué la théorie des transversales à l'obtention de nombreux résultats sur les coniques.

Dans ses recherches, Carnot a exploré audacieusement des voies nouvelles, à tel point que ses contemporains lui ont reproché de s'appuyer sur des idées vagues et des méthodes insuffisamment fondées. Par exemple, pour contourner la question délicate des quantités positives et négatives qui embarrassait alors les géomètres (faute, en partie, de notations adéquates et opératoires), Carnot a développé l'idée suivante : si on établit qu'une figure vérifie certaines relations géométriques dans le cas le plus simple où toutes les quantités qui entrent en jeu sont positives, alors ces relations restent encore vraies lorsqu'on déforme la figure de façon continue, même si certaines des quantités deviennent alors négatives. On peut voir là une certaine anticipation du «principe de continuité» qui sera formalisé par Poncelet. Par ailleurs, c'est à cette époque que les géomètres commencent à faire la distinction entre deux types de propriétés des figures : les propriétés «descriptives» (projectives ou affines) et les propriétés «métriques». Alors que Monge découvre un certain nombre de théorèmes nouveaux, notamment sur les coniques, par des procédés purement descriptifs, Carnot démontre indépendamment les mêmes théorèmes en faisant appel à des propriétés métriques. Carnot illustre ainsi l'efficacité de la méthode qui consiste à faire appel à une géométrie « plus riche » que celle dans laquelle sont données la figure de départ et la propriété à démontrer .

Finalement, dans l'histoire de la géométrie projective, Carnot a occupé une position intermédiaire par nature peu gratifiante. Il n'a bénéficié ni de la gloire des «découvreurs», tels Desargues et Pascal, ni du prestige de ceux qui ont rédigé de grands traités de synthèse quasi-définitifs, tels Monge ou Poncelet. Sa théorie des transversales et les idées novatrices qu'il a conçues font pourtant de lui un géomètre attachant.

Il est curieux que, de nos jours, le théorème de Carnot et ses applications soient «oubliés» dans l'enseignement élémentaire de la géométrie, c'est-à-dire au niveau du DEUG et de la préparation des concours d'enseignement (CAPES et agrégation). Il y a pourtant là une mine de résultats élémentaires abordables et motivants, permettant d'illustrer et de faire fonctionner plusieurs points du programme : coordonnées barycentriques, déterminants, formes quadratiques, coniques... Il est vrai que, jusqu'à une époque récente, deux obstacles surgissaient dès qu'on quittait la géométrie de la règle et du compas :

1) La voie synthétique était difficile car on ne pouvait pas commodément dessiner, expérimenter et conjecturer dans des situations faisant intervenir des coniques.

2) La voie analytique était rebutante car il apparaissait vite des expressions littérales (par exemple des déterminants 3x3 avec de nombreux paramètres) difficiles à calculer et à factoriser.

Désormais, Cabri-géomètre permet de construire des coniques et d'expérimenter aisément sur des figures, tandis que les logiciels de calcul formel (Derive sur la TI-92, Mathematica...) peuvent aider à surmonter les passages les plus délicats des calculs de justification.

Rien ne s'oppose donc plus à une approche élémentaire, c'est-à-dire affine, de certains résultats qui, jusque là, ne pouvaient se trouver que dans des livres savants de géométrie projective. En particulier, au niveau du CAPES, ainsi qu'on va le voir dans les pages suivantes, le calcul barycentrique peut devenir un outil efficace pour aborder de manière économique un certain nombre de résultats d'essence projective.

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