Rappel des résultats précédents

 

Notations du théorème de Carnot Soient P et P' de (BC), Q et Q' de (CA), R et R' de (AB), différents des sommets. Alors les six points P, P', Q, Q', R et R' sont sur une même conique ssi :

Cas particulier 1 : deux triplets de céviennes concourantes Théorème : Les droites joignant les sommets d'un triangle à deux points donnés coupent les côtés opposés en six points qui sont sur une même conique.

Cas particulier 2 : Points symétriques par rapport aux milieux des côtés   Théorème : Soit ABC un triangle. On considère trois points P de (BC), Q de (CA), et R de (AB) autres que les sommets du triangle, et P', Q', R' les symétriques de P, Q et R par rapport aux milieux respectifs des côtés du triangle. Alors les six points sont sur une même conique.

Droites isotomiques

Soient (AB), (BQ), (CR) trois céviennes concourantes en M, et P', Q', R' les symétriques de P, Q, R par rapport aux milieux des côtés.

CarIso01.fig ou la macro IsotomPt.mac qui, à partir des trois points A, B, C et M construit le point M'

D'après le théorème de Carnot, dans le cas particulier des points symétriques, les 6 points sont sur une coniques. Puisque, par hypothèse on a : Il en résulte : Et donc les droites (AP'), (BQ') et (CR') sont concourantes ou parallèles. On dit que ces trois céviennes sont les céviennes isotomiques des premières et - quand elles sont concourantes - que M' est l'isotomique de M pour ABC.

Ce résultat se montre bien entendu classiquement avec les barycentres. Il s'agissait ici de retrouver ce résultat sans calcul barycentrique, juste par une conique intermédiaire, grâce au théorème de Carnot.

 

Dans le cas où les céviennes de départ sont parallèles, nécessairement les céviennes isotomiques sont concourantes. En efet, dans la situation ci-dessus, si avec nécessairement sinon les droites (AP'), (BQ') et (CR') sont parallèles comme illustré ci-contre, en réciproque bien entendu. CarIso02.fig

 

Exemple d'utilisation

Dans la page 8, on verra par exemple que le point de Nagel est l'isotomique du point de Gergonne.

 

abraCAdaBRI est intéressé par d'autres applications de l'isotomie en général que les lecteurs pourraient avoir en tête, d'un point de vue affine ou projectif si possible (plutôt qu'euclidien).

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