Notations du théorème de base

 

Théorème de Carnot Soient P et P' de (BC), Q et Q' de (CA), R et R' de (AB), différents des sommets. Alors les six points P, P', Q, Q', R et R' sont sur une même conique ssi :

 

Cas de deux points confondus

On s'intéresse au cas particulier où deux points sont confondus (ci-dessous Q et Q'). Par principe de continuité de Poncelet, la droite (AC), sécante à la conique en Q et Q' devient la tangente à cette conique en le point Q (solution double de l'intersection).

Cas des points deux à deux confondus

Application des théorèmes de Carnot, Céva et Ménélaüs à ce cas particulier

Si, dans la relation du théorème de Carnot, on identifie les points P et P', Q et Q', et R et R', la conique est tritangente au triangle. Par ailleurs la relation devient  Si on exclu le cas où les trois points sont alignés (produit égal à 1 par Ménélaüs), alors le produit des trois termes est égal à -1, et, par le théorème de Céva, les droites (AP), (BQ) et (CP) sont parallèles ou concourantes.

CarDoub2.fig

Construction effective de la conique par 5 points - Céviennes concourantes

Ellipse ? Parabole ? Hyperbole

À la page sur la parabole (page 7), on étudiera, pour un triangle donné, le lieu de L pour lequel la conique est une parabole. Ce lieu est une ... conique associée au triangle bien connue. On verra alors que pour ce lieu sépare le plan en deux régions pour lesquelles la conique est soit une ellipse, soit une hyperbole. Trés joli résultat ...

Cas des céviennes parallèles

CarDoub4.fig ou la macro Cnk3TCP.mac [CP pour Céviennes Parallèles] : objets initiaux A, B, C et N de (BC)

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