25 septembre 2000 : Introduction à l'axiomatique de Bachmann

Une livraison d'une trentaine de pages et d'une cinquantaine de figures

Nous vous proposons de découvrir l'axiomatique de Bachmann dans sa version purement algébrique, avec de nombreuses illustrations dans les modèles de géométries hyperbolique et elliptique. Quelques pages sont réalisées sans illustration, pour une éventuelle impression plus compacte, mais lire les démonstrations de certains théorème avec une illustration CabriJava est un non-luxe de ce début de milénaire bien sympathique.

Depuis Félix Klein, une géométrie, dans sa déclinaison algébrique, est la donnée d'un ensemble E (de points) et d'un groupe G opérant sur cet ensemble, définissant par là même les isométries, et donc la géométrie. Une approche axiomatique classique définit, à partir d'un ensemble de points et d'un ensemble de droites donnés à priori, une relation d'incidence et (pour les plans métriques) une relation d'orthogonalité.

Bachmann propose de s'affranchir ... de l'ensemble des points ... et de l'ensemble des droites, en identifiant celles-ci aux générateurs du groupe qui définira sa géométrie. Pour cela il faut quelques conditions, redéfinir ce qu'est iun point, ce qu'est l'incidence. Si la démrche est conceptuellement claire et lumineuse, la voir avec des illustrations Cabri lui donne en plus une esthétique graphique certaine.

Cette axiomatique ramene l'étude de la géométrie - de toutes les géométries - à celle d'un groupe particulier ... muni de seulement 5 axiomes supplémentaires : un d'existence, deux d'incidence, et deux d'orthogonalité. Elle est actuellement considérée par les spécialiste comme l'aboutissement ultime du programme d'Erlangen.

Aussi, même si ce n'est pas d'un intérêt didactique immédiat, pour l'élégance, pour la beauté, pour la culture personnelle, bonne exploration dans l'axiomatique de Bachmann ...

Bonne nouvelle pour les utilisateurs Mac : Avec MRJ 2.2.3 livré vers les 20 septembre, une nouvelle gestion du cache des fichiers .jar fait qu'enfin Explorer fonctionne sous Mac comme sous PC : on ne charge qu'une seule fois l'applet CabriJava
MRJ 2.2.3 se charge sur http://www.apple.com/java (4.6 Mo)

2 juillet 2000 : Trois thèmes de figures pour l'été.

Tout d'abord 12 nouvelles dissections de Alain Rousseau sur les polygones réguliers, étoilés ou non.

Cette fois, Alain Rousseau aborde systèmatiquement la multiplication de polygones réguliers, du genre un dodécagone découpé en 6 dodécagones, un hetagone en 7 heptagones ... Vous n'avez pas le temps de tout voir, alors tiens, celle-là : une jolie salade colorée. Encore une petite, aller celle-ci sur les heptagones dont les pièces glissent les unes sur les autres. Mais ce serait dommage de ne pas aller voir les autres ...

Rappel : toutes ces figures sont téléchargeables en double-cliquant sur l'applet et en cliquant sur l'outil de droite de la barre d'outil de CabriJava. Si vous vous servez, pensez aussi à remercier l'auteur ... c'est un boulot remarquable qu'il nous offre là.

Ensuite un article de Géry Huvent sur la relation entre cercle et hyperboles équilatère.

Cet article est largement illustré comme à l'accoutumé dans abraCAdaBRI mais aussi avec CabriJava. Dans cette partie, on utilise abondament la nouveauté de CabriJava (depuis juin) d'intégrer les commentaires de Cabri sur l'appartenance, le parallèlisme etc.

Cet article est décomposé en 3 pages dans abraCAdaBRI et en 5 pages dans abraJava (pour éviter la lourdeur du chargement effectif des pages). Comme le metteur en page, vous serez sans doute nombreux à découvrir les propriétés des triangles autopolaires et des coniques harmonieusement inscrites ou circonscrites.

Enfin, abraCAdaBRI est heureux de vous présenter ses premières figures elliptiques ...

... et quelques nouvelles figures hyperboliques assez sympa. Pour les pressés, voir par exemple :

- La symétrie orthogonale elliptique est une rotation
- Un triangle a 4 cercles circonscrits
- La distance entre deux points A et B n'est pas la longueur du segment [AB]
- Manipulation directe sur un polygone régulier elliptique à 17 côtés en animation.
- Tangente à un cercle issue d'un point et polaire du centre du cercle

Mais le reste mérite qu'on y traine vraiment, il y a même quelques belles réalisations hyperboliques comme celle-ci sur les symétries ou celle-là sur les faisceaux ... mais aussi quelques autres ... dont celles de cette page introductive à l'axiomatique de Bachmann.

Certaines de ces figures sont parfois assez riches, comme celle sur le médiateur de deux points : pour limiter le chargement, par l'artifice du curseur, j'ai choisi d'incorporer plusieurs développements (jusqu'à 5) dans une même figure.

Sûr que ce dossier manque d'informations techniques ... j'y passe les mois de juillet et d'aout : cette cinquantaine de figures, c'est juste pour mettre l'eau à la bouche et donner de quoi réver ;-)

3 avril 2000 : Une avancée majeure de CabriJava : la disponibilité des coniques.

abraCAdaBRI a ouvert son dossier Conique dans abraJava. Ce dossier c'est 123 figures Cabri utilisant les coniques manipulables dans le navigateur.

Vous n'avez que 10 mn pour regarder ces nouveautés ?
a - Dans Aspect Affine choisir dans la rubrique "Pascal et Morley" la figure 2 ou 3 (la 1 c'est pour comprendre, mais ce sera pour une autre fois ;-)
b - Toujours dans Aspect affine, voir Carnot et Steiner : l'ellipse de Steiner comme lieu des points de concours de céviennes pour avoir une parabole tritangente. Belle animation.
c - Dans Aspect Euclidien commencer peut-être par Ellipses de Steiner et aire : une animation sur grille pour voir qu'une ellipse a toujours une aire plus ... mais vous verrez bien.
d - Toujours dans Aspect euclidien, une page délirante est celle sur les constructions élémentaires sur les paraboles. Délirante car il y a 7 figures dont 4 sont animées et surtout parce que CabriJava autorise le déplacement continu d'un point pendant une animation. Voir cette page pour le fun mais aussi les opportunités que permet cette possibilité de CabriJava.

Vous avez envie de voir d'autres pages plutôt fun ?
e - Tout le petit dossier hyperbolique est assez sympa. Si vous ne cliquez qu'à un endroit, prendre par exemple une nouvelle définition des coniques encore que exercice sur les horocycles dans le modèle de Klein-Beltrami est joli aussi.
f - Dans le genre exotique - mais aussi très sérieux - on peut regarder les capacités de Cabri à résoudre une équation d'arithmétique : dans cette page, en déplaçant une droite, vous crééz un repère de moins d'un 1/10 de pixel d'unité pour voir apparaître des solutions éloignées (x > 1000). Cabri et CabriJava sont vraiment très précis !!!

Vous avez un peu plus de temps ?
g - Dans la rubrique Utilisation en géométrie vectorielle, vous pouvez chosir entre les directions propres de l'adjoint, ou la conservation d'une paire de directions orthogonales par une transformation affine.
h - Retourner flaner à l'aspect euclidien (70 figures) pour observer la partie analyse de la figure d'accueil du dossier : conique connaissant un foyer et 3 points.
i - Retourner aussi à l'aspect affine (32 figures) et explorer la transformation d'un cercle en conique par homologie harmonique.
j - Ou encore observer un groupe sur une conique.

Aspiration : le nouveau dossier ConikCJ d'abraJava contient 198 fichiers pour un volume de 500 Ko seulement (il n'y a pas de gif et les figures Cabri sont désormais zippées).

Spécial utilisateurs Mac : Netscape n'a pas suivi l'évolution du Java, il faut utiliser un PlugIn pour MRJ, disponible sur le site, pas sûr qu'il prenne en compte les dernières spécificités de Java. Internet Explorer 4.5 (pas encore testé le 5 tout chaud sur Mac) recharge CabriJava à chaque page : inutilisable, sauf en intranet où c'est acceptable. Pour ma part (abraJava est fait sur Mac), je ne vois que 3 solutions :

La plus simple : utiliser le navigateur iCab (de www.icab.de - 2 Mo) qui fonctionne bien et ne recharge pas CabriJava.
Plus lourd : passer par Virtual PC ;-( Bon, ça marche très bien.
Encore plus lourd : visiter les pages CabriJava sur son lieu de travail où il y a forcément plus de PC que d'iMac.

 

29 février 2000 : Suite au dossier "Equations différentielles" dans abraCAdaBRI, voici en ligne de quelques figures utilisables dans le navigateur, en particulier avec les traces pour les systèmes linéaires, mais aussi avec une grille. On trouvera aussi, toujours pour les traces, les exemples d'abraCAdaBRI sur l'équation de Riccati et l'exemple d'Euler.

12 février 2000 : Mise en ligne de cinq nouvelles applets sur les pavages hyperboliques, mais cette fois-ci dans le demi-plan de Poincaré (et non plus dans le disque comme en décembre) : pavages de carrés, de pentagones, et d'hexagones. Ces pavages sont rarement (peut-être même pas) illustrés sur le Net. En voici quelques uns, en animation, et manipulables dans le navigateur. On a beau le savoir, c'est bien de s'en souvenir régulièrement : CabriJava est quelque chose de réellement extraordinaire.

5 février : Mise en ligne d'un dossier dû à l'enthousiasme provoqué par la disponibilité des lieux dans CabriJava comme annoncé il y a quelques jours : Bienvenue aux lieux Vous y trouverez, aprés une jolie figure d'introduction (sur un exercice de seconde), trois pages sur l'optimisation en lycée, une sur les suites récurentes, une page plus fun, six sur les équations différentelles., une autre de morphing barycentrique, et une dernière en attendant les coniques (transvection et dilatation).

Bon "page" est un bien grand mot. Il s'agit seulement d'une figure commentées. Dans la "philosophie" d'abraJava, les questions de construction ne sont pas abordées, elles sont laissées à abraCAdaBRI.

--- 1999 ---

30 décembre : Réécriture du dossier des dissections de Alain Rousseau et ajout de 11 nouvelles dissections. Il y a désormais une page décrivant les animations. Parmi les nouveautés, consulter par exemple ses extraordinaires animations sur les sommes de carrés, et la nouvelle animation sur les dissections de Varsady. Désormais tous les fichiers Cabri de ce dossier sont zippés et donc se chargent beaucoup plus vite.

Aucun rapport : mentionnons, pour le fun, une animation pour souhaiter à Cabri et CabriJava, un excellent passage du millenium.

18 décembre : Cinq pages sur les pavages hyperboliques réguliers avec Cabri. Une première page propose d'explorer pourquoi il y a une infinité de pavages avec chaque polygone régulier, alors qu'en géométrie euclidienne il n'y a que 3 pavages possibles : un avec les triangles équilatéraux, un avec les carrés, un avec les hexagones réguliers. Puis on on peut voir des pavages réguliers de carrés (et la quadrature de Pi par la même occasion), avec des pentagones, et des hexagones.

 Note technique : Dans ces pages, abraJava utilise cette extraordinaire possibilité de CabriJava de charger des figures Cabri zippées : le pavage hyperbolique P(4,5) de seconde génération qui fait 60 Ko sous Cabri n'en fait plus que 6 quand il est zippé, ce qui fait qu'il est chargé quasiment 10 fois plus vite. Cela dit, les figures restent lourdes (jusqu'à 2000 objets) d'où la limitation à deux figures par page seulement.

 

29 juillet : une activité de Géométrie dans l'espace sur les plans en vraie grandeur en PC.

27 juillet : utilisation de la nouvelle fonctionnalité de CabriJava : la calculatrice Cabri est désormée incorporée. En géométrie hyperboliques, des pages sur la distance hyperbolique et les bissectrices du modèle de Poincaré ont été modifiées. D'autres, sur les cas d'égalité des triangles ont été ajoutées. Plusieurs figures de dissection (de Alain Rousseau) ont été mises en CabriJava.

20 juillet : mise en ligne de abraJava, la partie "CabriJava" d'abraCAdaBRI, avec pour cette livraison, quelques figures que le webmestre avait toujours rêvé de pouvoir manipuler en direct dans le navigateur comme des figures hyperboliques, mais aussi sur les directions propres d'endomporphismes et leurs adjoints ou encore les figures de la galerie d'Alice. Une attention particulière a été apportée à la présentation des outils de CabriJava et de ses possibilités d'animation par défaut (que n'a pas - pas encore ? - Cabri dans sa version actuelle) à l'attention de futurs utilisateurs.

Mentionnons aussi que depuis le 15 juillet, la base de ressource de Maths de l'académie de la Réunion, développée et maintenue par Eric Hakenholz, vous permet de faire des fiches d'activité CabriJava directement depuis votre navigateur, de les mettre dans la base et vous renvoie une adresse de votre activité. Cela mérite amplement le détour !!!