Cercles hyperboliques
dans le modèle de Poincaré

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2 - Construction et applications

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Le cercle

Le cercle rose est le cercle hyperbolique de centre O passant par A. Le point "e" est le centre euclidien.

Manipulation possible : même si on ne peut redéfinir les objets, on peut observer le comportement du cercle dans quelques cas particuliers :

1 - Cas où A est un point idéal : pas de surprise.
2 - Cas où O est le centre H de l'horizon : on retrouve du connu
3 - Cas où O est un point idéal : il se passe alors quelque chose qui n'existe pas en géométrie euclidienne.

Détail sur la construction du cercle et l'obtention de sa robustesse aux passages à l'infini (dans abraCAdaBRI)

 
Le cercle de gauche est manipulable par son centre et O, à droite on peut déplacer A et B.

Milieu et médiatrice

L'intersection des cercles de centre A et B se coupent en M et N, alors les deux triangles MAB et NAB sont équilatéraux, et la droite (MN) est médiatrice de [AB] : c'est - comme dans le cas euclidien - l'ensemble des points à même distance de A et de B, et deci est équivalent à dire que c'est la droite passant par le milieu I de [AB] et perpendiculaire à (AB).

Déplacer M pour illustrer la propriété de la médiatrice
Qu'est-ce qu'un polygone régulier ? Il est inscrit dans un cercle, a ses côtés de même longueur et vus du centre sous le même angle (ici l'angle droit)

Milieu et médiatrice permettent de construire les symétries centrales et axiales, ce que nous ferons à l'item "Isométrie".

Le réflexe "triangle"

 

Remarque : En chargeant la figure on pourra observer, comme pour les hauteurs, qu'il y a deux perpendiculaires communes construites et qu'elles sont superposées : cela illustre bien qu'elles sont en faisceau.

Par contre le fait que les médianes oient elles aussi concourantes et peut-être plus surprenant. Selon l'axiomatique retenue cela peut -être :

- un résultat général à bien des géométries (axiomatique de Bachman)

- un résultat non trivial (par exemple dans le cas que l'axiomatique de Jacqueline Lelong Ferrand, pour la géométrie hyperbolique)

Remarque : G est l'intersection des médianes [AA'] et [BB']. En chargeant la figure sous Cabri, on peut vérifier, par l'item d'appartenance, que G appartient bien à [CC']

Utilisation d'un compas hyperbolique

Plusieurs auteurs, dont Posidonius, et Al Haytam, ont cru montrer le V° postulat d'Euclide, en utilisant le résultat suivant, consdéré comme intinsèquement vrai :

Le lieu des points équidistants d'une droite, et situé d'un même côté de cette droite est une droite.

Or cette propriété est une caractérisation de la géométrie euclidienne comme on le voit sur l'animation ci-dessous :

(Eviter de déplacer le curseur au démarrage de l'applet, pour bénéficier de l'animation par défaut)

 

Remarque : d'autres auteurs (dont Vitale) ont utilisé une version légèrement différente de ce résultat en introduisant implicitement dans leur preuve qu'il existe toujours trois points alignés équidistants d'une droite. L'illustration ci-dessus montre qu'il n'en est rien.

Autres équivalences avec le V° postulat (dans abraCAdaBRI).

 

Pas de "cercle des neuf points" en géométrie hyperbolique

 

Ci-contre on a tracé le cercle - quand il existe - circonscrit aux milieux des côtés d'un triangle. Il ne passe pas par le pied des hauteurs.

Il n'y aura donc pas de "cercle d'Euler".

De même, on pourrait faire une figure illustrant qu'il n'y a pas non plus de "droite d'Euler" : si O, G et H existent, ils ne sont pas sur une même roite hyperbolique.

 

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