Angles hyperboliques
dans le modèle de Poincaré

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 1 - Construction d'angles - Illustrations

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Les angles

Le modèle étant conforme, les angles se construisent facilement à partir des tangentes euclidiennes des segments ou des droites hyperboliques. Lefait d'y ajouter comme ci-dessous une "marque hyperbolique" demande un peu de soin. De plus, les constructions étant des macros - et non pas des objets de base du logiciel, on peut chercher à optimiser des macros pour différents usages possibles.

Consulter les détails techniques de réalisation des macros dans abraCAdaBRI

 

Une des premières des premières tentatives de preuve du V° postulat d'euclide, des commentateurs arabes, repose sur l'étude des quadrilatères ayant 3 angles droits comme celui ci-contre.

Ce fut l'approche de Ibn al-Haytam, qui conclu à l'orthogonalité du quatrième angle en utilisant explicitement que :

Le lieu des points équidistants d'une droite donnée et situés d'un même côté de cette droite est une droite.

Ce qui s'avère être une propriété purement euclidienne comme on peut le vérifier ci-contre.

Remarque : il peut être nécessaire de toucher la figure (déplacer A ou B) pour un affichage complet.

C'est Saccheri qui a mis en évidence l'équivalence entre le V° postulat d'euclide et le fait que la ligne de niveau de l'angle MAB=90° est le cercle de diamètre [AB].

C'est donc une caractéristique de la géométrie euclidienne.

Manipulation : On peut voir ci-contre, en déplaçant M que l'angle MAB n'est pas constant sur un cercle hyperbolique.

Autres équivalences avec le V° postulat (dans abraCAdaBRI).

Angles d'un triangle

Lambert fut le premier à s'apercevoir que l'aire d'un triangle est directement liée à ses angles dans la relation r2(Pi-A-B-C) où A, B et C sont les mesures des angles aux sommets. Il en a déduit qu'il existerait alors une distance absolue ... et donc que cette géométrie ne peut exister.  

Manipulations possibles : On observera que la somme des angles d'un triangle est inférieure à 180°, que l'aire maximale (Pi au coefficient de proportionnalité près) ne peut être atteinte que pour des triangles idéaux. On observera enfin que, comme le notera Lobatchevsky, que l'angle d'un triangle équilatéral décroit de 60° à 0° quand son côté croît de 0 à l'infini (triangle idéal).

Secteur angulaire

Plusieurs auteurs, dont Legendre, ont cru montrer le V° postulat d'Euclide en utilisant comme une évidence géométrique que "toute droite d'un point intérieur à un secteur angulaire coupe au moins l'un des côtés de ce secteur".

Or il s'avère que c'est faut comme on peut le vérifier ci-contre.

Manipulation : On peut voir ci-contre, en déplaçant P que la droite (MP) ne coupe pas toujours les côtés du secteur angulaire BAC.

C'est encore une caractéristique de la géométrie euclidienne.

Autres équivalences avec le V° postulat (dans abraCAdaBRI).

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