Cercles hyperboliques
dans le modèle de Poincaré

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3 - Horocycles

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Introduction

Considérons un cercle hyperbolique de centre O passant par A. Alors toutes les droites hyperboliques passant par O sont aussi orthogonales à ce cercle. Cela serait facile à montrer avec notre construction (à considérer comme un exercice sur l'inversion). Cette propriété pourait d'ailleurs être une autre approche pour la construction des cercles : elle est proposé dans [Berger].

Autrement dit les traces des droites hyperboliques du disque de Poincaré passant par le centre d'un cercle hyperbolique sont des droites hyperboliques pour le disque de Poincaré associé à ce cercle.

 

On s'intéresse maintenant à ce que devient ce cercle - ou ces droites - quand le centre O tend vers l'infini, c'est-à-dire se rapproche du cercle horizon.

Manipulation : rapprocher O de l'horizon. On voit que la droite (OA), ainsi que toutes les droites comme (OM) et (ON) - déplacer M ou N - sont toujours orthogonales au cercle limite et ont le point limite comme point infini sur le cercle.

Ainsi, si O est un point (à distance infinie) de l'horizon - point idéal - cette courbe est orthogonale à toute droite ayant ce point O comme point infini. Ce cercle s'interprète donc comme un cercle dont le centre est à l'infini. Et contrairement au contexte euclidien, cette courbe n'est pas une droite hyperbolique. Comme ce n'est pas non plus un cercle puisque son centre n'est pas un point du plan hyperbolique, on lui donne un nom : c'est un horocycle.

Construction

Par deux points hyperbolique passent deux horicycles.

Détail de la construction et macro (dans abraCAdaBRI)

Le réflexe "triangle" : retour aux médiatrices

 

Voir l'extrait de présentation historique consacré à Saccheri. (contenant un tableau illustré des équivalences obtenues par Saccheri)

 

Lieu des points C pour lesquels les points A, B et C sont (hyperboliquement) cocycliques

 

 

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