Cercles inscrit et exinscrits

3 - Propriétés des points de contact

[Présentation générale] [1 - Définitions des bissectrices] [2 - Pieds des bissectrices]
[4 - Diverses relations métriques] [5 - Théorème de Feuerbach]

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Le résultat

Résultat | Cabri-vérification | Preuve | Conséquences | Point de Gergonne | Point de Nagel | Lien avec O, H, I

 

 

CInsExO2.fig

Cabri-vérification

Résultat | Cabri-vérification | Preuve | Conséquences | Point de Gergonne | Point de Nagel  | Lien avec O, H, I

 

 

CInsExO3.fig

Preuve

Résultat | Cabri-vérification | Preuve | Conséquences | Point de Gergonne | Point de Nagel | Lien avec O, H, I

 

CInsExO4.fig (Cas non isocèle en A)

Notons P1 l'intersection de la bissectrice intérieure issue de A et du cercle circonscrit à ABC, de centre O. Alors BP1C est isocèle en P1 car en angle géométrique on a, P1BC = P1AC = BAP1 = BCP1. Donc P1 appartient à la médiatrice de [BC].

Par ailleurs, les points I, B, C, IA sont cocycliques sur le cercle de diamètre [IIA]. Or le centre est à la fois sur la bissectrice (AI) et sur la médiaitrce de [BC]. Ainsi, si le triangle n'est pas isocèle en A (ie si ces deux droites sont distinctes), le centre de ce cercle est l'intersection des deux droites, c'est à dire le point P1.
Le lecteur s'intéressera au cas où le triangle est isocèle en A pour vérifier que P1 est encore le centre de ce cercle (voir ci-contre à droite).

Dans tous les cas P1 est le milieu de [IIA] et donc, par projection orthogonale, A' est milieu de D et D1.

CInsEx4b.fig (Cas isocèle en A)

On peut aussi remarquer, sans utiliser le point P1, que dans ce cas, A' = D = D1.

 

CInsExO5.fig

 

Cette dernière preuve est purement métrique et s'applique entièrement à la géométrie hyperbolique. Par contre ce n'est pas le cas de la première partie (pourtant vraie elle aussi).

 

Conséquences

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Deux coniques
à partir des points de contact

 

Un cas particulier (celui des points symétriques par rapport aux milieux des côtés) du théorème de Carnot montre l'existence de deux coniques passant 6 des points de contact des cercles avec les côtés.

Les contacts sur un même côté d'un triangle du cercle inscrit (orange ci-contre) et du cercle exinscrit correspondant sont symétriques par rapport au milieu du triangle.

Ceci prouve l'existence d'une première conique (verte ci-contre) passant par ces 6 points.

Les contacts sur le même côté du triangle des deux autres cercles exinscrits sont eux aussi symétriques par rapport au milieu du côté.

Ceci prouve l'existence de la seconde conique (en rose ci-contre) passant par ces 6 points.

 

CarSym2a.fig

 

Point de Gergonne

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CInsExO6.fig

Preuve

Elle peut se faire par les barycentres. En notant traditionnellement a = BC, b = AC, c = AB, et le demi-périmètre p = (a+b+c)/2.

On trouve rapidement G barycentre de

A

B

C

(p-b).(p-c)

(p-a).(p-c)

(p-a).(p-b)

Autre approche (par un cas particulier du théorème de Carnot) : utilise qu'un cercle est une conique affine particulière.

 

Point de Nagel

Résultat | Cabri-vérification | Preuve | Conséquences | Point de Gergonne | Point de Nagel  | Lien avec O, H, I

 

Preuve

Puisque le cercle exinscrit associé à l'angle A - de centre IA - est tangent à (BC) en D1 symétrique de D par rapport au milieu A' de [BC], les droites ainsi construites (AD1), (BE2) et (CF3) sont concourantes comme isotomiques des droites (AD), (BE) et (CF). En particulier elles sont concourantes en un point N, isotomique du point de Gergonne, appelé point de Nagel, il a pour barycentre (notations ci-dessus) :

 

A

B

C

p-a

p-b

p-c

CInsExO7.fig

 

Lien avec O, H, I

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En notant G l'isobarycentre de ABC, O son centre du cercle circonscrit, I celui du centre inscrit, H l'orthocentre et N le point de Nagel ci-dessus, on a les relations vectorielles :

CInsExO8.fig

Preuve

  • Avec l'homothétie de centre M qui envoie le cercle exinscrit associé au sommet A - de centre IA - en le cercle inscrit. L'image de D1 est D et l'image de D est D', symétrique de D par rapport à I. Il en résulte que ce point est sur (AN).
  • Alors (AN) // (IA') par Thalès dans D'DD1.
  • Soit h l'homothétie de centre G de rapport - 2, h(A') = A et donc (A'I) a pour image (AN). Pour les mêmes raisons, h(B') = B et donc (B'I) a pour image (BN).
  • Il en résulte que h(I) = N, ce qui prouve la première relation.
  • la relation d'Euler entre O, G, H - G est au tiers de [OH] - assure la seconde relation.

Remarque : sur l'illustration ci-contre (HN) est parallèle à (BC) seulement pour l'esthétique de la figure, ce n'est bien-sûr pas une propriété générale.

 

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