Modèle hyperbolique de Poincaré
III. Cercle et distance

III.6.a - Premières utilisations : les translations

[III.6.b. Non existence des homothéties]

[III.1. Approche expérimentale du cercle] [III.2 - Construction du cercle] [III.3 Médiatrice, milieu ...] [III.4 - Horocycles] [III.5 - Tangentes]

[I. Introduction] [II. Les droites] [IV. Les angles] [V. Constructions] [VI. Exercices]

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Pour clore ce chapitre relatif au cercle et à la distance, nous avons choisi de retourner à quelques questions d'incidence de la géométrie affine pour illustrer à nouveau que les réflexes que nous avons en géométrie affine sont des réflexes soutendus par une culture vectorielle. Dans cette page, nous observerons le comportement des translations - en particulier que ce ne sont pas des isométries - et dans la suivante, nous reviendrons sur l'impossibilité de définir une homothétie. Ultérieurement des compléments sur les isométries hyperboliques seront effectués.

Bipoints équipollents et translations

TransO1.fig et macro translaté Trans1pt.mac utilisée ci-dessous

Les translations ne sont pas des isométries

a - Image d'une droite

TransO4.fig (PC) ou TransO4M.fig (Mac)

b - Image d'une cercle

Exemple de traitement de problème de construction avec les translations

Soit le cercle de centre O passant par I, et A et B deux points. On s'intéresse de construire les points C et D sur le cercle tel que ABDC soit un parallèlogramme hyperbolique, c'est-à-dire ayant un centre de symétrie. L'intéret de cet exercice est de voir un type de démarche différente de celle des structures euclidiennes où les translations, étant des isométries, transforment un cercle en un cercle. Ici, il faut procéder autrement, et donc avoir une approche plus métrique.

Analyse

Soit [CD] une solution et I le centre de symétrie de ABDC. Comme la symétrie est une isométrie, le cercle de départ, dans la symétrie de centre I est un cercle de même rayon, passant par A et B. Donc le symétrique de son centre est l'une des deux intersections U et V de la médiatrice de [AB] avec le cercle de centre B et de rayon OI.

Synthèse

Soient U et V les points indiqués ci-dessus, quand ils existent. Alors les milieux J de [OU] et Kde [OV] sont les centres de symétrie cherchés. Il suffit de construire les symétriques de A et B par rapport à I et J. Par construction on a des parallélogrammes et, toujours par construction, les points sont bien sur le cercle de départ.

D'autres exemples seront proposés dans la partie des exercices.

[III.6.b. Non existence des homothéties]

[III.1. Approche expérimentale du cercle] [III.2 - Construction du cercle] [III.3 Médiatrice, milieu ...] [III.4 - Horocycles] [III.5 - Tangentes]

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