Le mouvement tractionnel en géométrie

2 - Tractrice et autres tractoires

2.2.a Tractoire à base circulaire

2.1 Construction de la tractrice | 2.2. Tractoire à base non rectiligne
2.3. Tractoire à directrice non circulaire | 2.4. Construction des logarithmes

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La tractrice est, rappelons-le, la courbe décrite par l'extrémité libre B d'un fil de longueur constante AB = a lorsque l'autre extrémité A est tirée le long d'une droite. Une première généralisation vient immédiatement à l'esprit : pourquoi ne pas tirer l'extrémité A le long d'une courbe quelconque G ? Dans ce cas, la courbe décrite par B est appelée tractoire de base G. Désormais, je parlerai de tractoires, en réservant le mot tractrice à la première tractoire, la tractoire historique, celle qui a pour base une droite et qui a été construite dans la partie 2.1.

2.2.b. Tractoire à base un lieu de Cabri

Tractoire à base circulaire

Prenons d'abord pour base la courbe la plus simple : le cercle. Il est facile d'imaginer une construction analogue à celle utilisée pour la tractrice dans la partie 2.1. Soit A0B0 la position initiale du fil (A0 sur le cercle) et soit A un point quelconque du cercle. On partage le segment [A0A] en 16 parties(en prenant soin que les points du partage restent toujours sur le même arc) On applique 16 fois la macro TractInst.mac de la partie 2.1. Toutefois, pour obtenir de belles courbes, il est conseillé de créer aussi des macros correspondant à des partages en 64 parties

TractC01.fig ou la macro associée TractC16.mac

d' objets initiaux A0, B0 le cercle et le point A, et d'objet final le point B.

A partir de cette construction, il est facile de poursuivre pour réaliser une macro TractC64.mac pour des partages en 64 parties.

La tractoire du cercle est alors obtenue en demandant le lieu de l'extrémité B lorsque l'autre extrémité A décrit le cercle. Par sa nature même, cette construction ne fonctionne que pour un tour. Elle correspond à un fil que l'on tire dans le sens des aiguilles d'une montre à partir de la position initiale A0B0, et ce pendant un tour, ci contre avec les deux macros partageant l'arc (A0A) en 16 ou 64 parties.

TractC02.fig

Si on veut simuler un second tour, il suffit, après avoir effectué presque un tour, de placer le point A proche de A0. Notons A1B1 cette position du fil. On peut alors recommencer la construction avec A1B1 pour position initiale et avec un nouveau point A2 sur le cercle. On obtient alors le point B2 , dont le lieu est la " suite " de la tractoire !

Ci contre on a fait la trace de B2 quand A2 se déplace sur le cercle.

TractC03.fig

Avec B0 à l'intérieur du cercle

Enfin, pour terminer en beauté ces considérations générales, une tractoire à trois tours :

TractC04.fig

 

Le cas de la spirale tractrice

Dans le cas particulier où la longueur du fil est égale au rayon du cercle de base, on retrouve une courbe introduite par Varignon et appelée spirale tractrice. Cette courbe jouit de la propriété remarquable suivante :

" Les points de la spirale tractrice où la tangente est parallèle à une droite donnée passant par le centre du cercle de base sont situés sur les deux cercles ayant même rayon que le cercle de base et centrés aux points d'intersection de la droite et du cercle de base ".

TractC05.fig

 

Grâce à son nouveau savoir-faire sur la construction des tractoires, le lecteur curieux pourra expérimenter autour de cette propriété et tenter de découvrir comment elle se généralise à une tractoire circulaire quelconque. Pour des démonstrations, voir F. Gomes Teixeira, Traité des courbes spéciales remarquables planes et gauches, rééd. Jacques Gabay, tome II, p. 91 et p. 96. Dans ce livre extraordinaire, on apprend aussi que

l'inverse de la spirale tractrice par rapport à son cercle de base est une développante de cercle.

Comment s'empêcher d'illustrer avec Cabri ce résultat inoubliable ? 

 

TractC06.fig

Extension aux coniques

On peut facilement étendre la construction aux coniques. En effet, dans Cabrti, le partage le segment [A0A] en 16 parties par des médiatrices successives respecte toujours le suivi des intersections. On applique à nouveau 16 fois la macro TractInst.mac de la partie 2.1.

TractC07.fig ou la macro associée TraCnk16.mac

d' objets initiaux A0, B0 la conique et le point A, et d'objet final le point B.

TractC08.fig

 Cette extension aux coniques sera utile pour l'intégration de certaines équations différentielles; nous en reparlerons plus en détail ultérieurement.

 

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