Introduction à la géométrie logique

2 -L'existence comme critère logique

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En géométrie affine, si deux droites ne sont pas parallèles, elle sont sécantes en un point. L'existence de ce point est un critère de non parallélisme. Nous allons développer des raisonnements de ce type, souvents triviaux, mais parfois moins, pour caractériser des situations par l'existence d'un point. Dans des pages plus avancées d'Alice, nous verrons que, malgrés les apparences, cette approche assez élémentaire peut déjà nous amener très loin. Mais voyons déjà quelques exemples introductifs.

Quadrilatère Convexe

On considère deux segments [AC] et [BD]. On notera I leur intersection éventuelle. L'existence de ce point I est un critère qui rend compte que le quadrilatère ABCD est convexe, puisque ABCD est convexe si et seulement si ses diagonales sont sécantes.

Position de deux points par rapport à une droite

On considère deux points M et N et une droite (d). On cherche à construire un point qui caractérise le fait que M et N soient du même côté de la droite. Il suffit de construire N' le symétrique de N par rapport à cette droite. Alors M et N sont d'un même côté si et seulement si le segment [MN'] coupe la droite.

On peut, à partir de ce point I, construire la paralléle à (d) passant par I. C'est une droite qui recouvre (d) mais qui n'existe que si M et N sont d'un même côté. Sur la figure proposée en téléchargement, on a donné le commentaire rouge comme nom de la droite.

Exist.fig qui comprend les deux exemples ci-dessus

Une première application

La situation suivante, qui sert d'exemple d'application à ce qui précède, est à prendre comme un exercice d'apprentissage : la résolution n'est pas du tout optimisée, nous ferons bien mieux, sur le même problème, dans un autre item d'Alice.

Soit M un point intérieur à un triangle ABC. On aimerait construire un point Int qui n'existe que si M est à l'intérieur du triangle. On peut donc penser utiliser 3 fois le raisonnement précédent : M est à l'intérieur du triangle si M et A sont du même côté de (BC) ET, M et B du même côté de (AC) ET M et C du même côté de (AB). On construit ainsi les trois points I, J et K sur les droites contenant les côtés du triangle.

M est donc à l'intérieur si et seulement si ces trois points existent simultanément. On peut rendre compte de cet état en remplaçant le ET précédent par un milieu : le milieu de deux points n'existe que si ces deux points existent simultanément. On peut donc prendre le milieu IK de I et K. Le point Int, comme milieu de IK et J convient puisqu'il n'existe que si les trois points existent simultanément, c'est à dire si M est bien, à la fois, dans les trois demi-plans qu'il convient.

IntTR.fig pour visualiser les différents comportements des points M_A, M_B, M_C et du point Int.

Rappelons toutefois que cette approche n'est pas du tout optimisée. Elle a seulement servi ici à mettre en évidence qu'un ET logique se construit facilement dans Cabri, par milieu ou, si ce sont des objets, par intersection.

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