4 - Un premier exemple

 [1 - Nécessité de la Géométrie logique] [2 - L'existence comme critère logique] [3 - Le Ping et le Pong]

Si vous souhaitez réaliser cette figure en direct dans Cabri II, vous pouvez choisir de

Charger la macro Ping-Pong

On considère trois points A, B et M et les segments [AM] et [BM]. On se propose de tracer en rouge le segment le plus court et en bleu le plus long, ceci à des fins d'utilisation en classe : la figure est alors une machine (un programme de construction) que l'on explore pour en déduire des propriétés de régionnement.

Plus exactement, les deux segments sont à priori en bleu, et on se propose de surligner en rouge celui des deux qui est le plus court.

Il va de soi que la médiatrice bleue des illustrations ci-dessous est effacée pour une uilisation en classe en phase exploratoire.

Premier cas : [AM] est le plus court

 

M est donc plus près de A que de B. Cela signifie que le segment [BM] coupe la médiatrice de [AB]. Soit I le point d'intersection. Le segment [AM] doit être rouge si et seulement si I existe. On construit donc sur A (ou M) un point qui n'existe que si I existe. Soit A' ce point sur A. Il suffit de construire en rouge le segment [A'M]. Comme il est tracé après le premier, le comportement de Cabri II fait que le segment [AM] apparaît en rouge.

Second cas : [BM] plus court

 

Vous opérez de même. On peut se poser la question de savoir si les deux segments peuvent tous deux être plus court, c'est dire à même distance. Il faut des conditions particulières pour obtenir cet écran, en particulier, dans le cas d'une droite horizontale, que A et B soient séparès par un nombre impair de pixels.. PremEx1.fig

 

Variante   On peut choisir de réaliser des variantes, avec par exemple comme ci-contre un point M' sous M (M' en rouge gras si AM est rouge) et étudier le régionnement par la trace de M' quand M varie. Il est facile alors d'obtenir un coloriage d'une partie significative du demi plan (surtout en prenant une brosse assez grosse), ce qui suffit pour des conjectures de la part des élèves. PremEx2.fig

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