4 - OU exclusif et différence symétrique

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Cette page complète les précédentes sur le OU de régions (triangles, cercles), par un OU exclusif qui correspond à la différence symétrique de deux ensembles, et que l'on notera XOR, défini par :

autrement dit, en termes ensemblistes, ce qui est dans A et pas dans B ou ce qui est dans B et pas dans A, ce ou étant de fait disjoint.

Cette page est essentiellement basée sur deux macros, que l'on va combiner avec celles vues dans les deux pages précédentes pour arriver à des résultats simples mais intéressants.

Préliminaires logiques

Les constructions qui vont suivre prendront deux directions, une basée sur la définition donnée ci-dessus, une autre utilisant déjà la réunion des ensembles, ou le OU logique des propriétés :

En termes de propriétés, nous utiliserons donc deux équivalences. La première correspond à la définition du OU exclusif :

et la seconde utilise la caractérisation ci-dessus :

L'avantage de la seconde écriture est que nous avons déjà une macro pour le premier terme du ET, il s'agit de la macro Intégrité. Il nous suffit de faire une macro pour le second terme de ce ET, ce qui va être immédiat (macro OUDif ci-dessous). Mais on sait que cette approche ne sera pas intrinsèque puisque l'intégrité ne l'est pas.

Après utilisation de cette macro pour réaliser un OU exclusif, nous verrons ensuite que la première approche, celle de la définition peut aboutir, elle, à une construction entièrement intrinséque.

Posons a = OA et b = OB, tels que (OA) et (OB) n'aient pas même direction quand les points ne sont pas confondus. Soit I le milieu de [AB]. Alors l'un des deux nombres (au moins) a et b est non nul si et seulement si les points I et O ne sont pas superposés, soit si et seulement si la médiatrice de I et O existe. On rend compte alors, sur O, que l'un des deux nombres au moins est non nul si le symétrique OUDif de I par rapport à cette droite existe. Charger la macro OUDif.mac d'objets initiaux O, A et B, éventuellement pour l'utiliser sur la figure suivante.

Un premier OU exclusif

Reprenons la figure déjà effectuée du OU de deux triangles (Réunion des intérieurs).

Autres exemples

En reprenant les figures sur le OU de deux cercles ou d'un cercle et d'un triangle, on peut facilement construire les OU exclusifs correspondant.

Reprendre la figure OU2cercl.fig sur le OU de deux cercles.

Reprendre la figure OUCercTr.fig sur le OU d'un cercle et d'un triangle.

Pour ces deux figures, il suffit d'appliquer la macro OUDif aux points M, Z et Z' pour construire le point OUDif, et le point XOR par milieu des deux précédents.

On peut aussi

Lancer la figure XOR2cerc.fig ou celle de XORCrcTr.fig .

ou encore

Charger les macros correspondantes XOR2Cerc.mac ou XORCrcTR.mac pour réaliser les figures suivantes.

Illustrations de cas particuliers de XOR

 

Il est facile d'utiliser les macros précédentes pour construire des cas particuliers de différences symétriques. En voici deux exemples, le premier renvoie un point sous M si M est à l'intérieur du cercle circonscrit au triangle sans être à l'intérieur de ce triangle. L'autre figure est un Intérieur Couronne (qui aurait pu facilement se réaliser autrement). Lancer la figure XOR Triangle / Cercle circonscrit ou celle de Intérieur Couronne.

Remarque : Le XOR Triangle / cercle ciconscrit pourrait servir dans des figures sur les coniques de foyers F et F' deux points isogonaux d'un triangle, et tritangente aux côtés (ou droites supports) de ce triangle. On se souvient en effet (par exemple Sortais - La géométrie du triangle) que quand l'un deux points est dans le triangle cette conique est une ellipse et que quand il est dans la différence symétrique entre le cerlce circonscrit et le triangle c'est une hyperbole ... Nous en reparlerons dans la rubrique Post-Bac ... un jour ...

Si cette méthode n'est pas intrinsèque, elle présente l'intérêt de construire des figures avec simultanément le OU et le OU exclusif. Nous ne l'avons pas fait ici, mais on peut choisir de transformer les figures pécédentes en des macros qui renvoient siimultanément les deux points. Cela peut être parfois efficace.

Méthode intrinsèque

Nous abordons maintenant l'utilisation de la relation :

Comme dans la première méthode, on pose a = OA et b = OB, tels que (OA) et (OB) n'aient pas même direction quand les points ne sont pas confondus. Soit I le milieu de [AB]. Alors l'un des deux nombres (au moins) a et b est non nul si et seulement si la droite (AB) existe, sinon les deux points sont en O. Ceci acquis, on ajoutera que l'un des deux seulement est non nul (ou est nul, c'est équivalent) si, de plus, O appartient à la droite (AB). C'est ce qu'il convient de mettre en évidence géométriquement.

Remarque : Pour trois points de base O, A, B, on peut facilement vérifier que la condition plusieurs fois soulignée de directions distinctes pour (OA) et (OB) si les nombres sont non nuls est essentielle : si on prend (AB) horizontale et que l'on fait varier O sur (AB), le point XOR existe toujours. En pratique, cette situation ne se produit jamais avec les points construits (sauf à le vouloir).

La figure XORBase.fig XOR Intrinséque ou la macro (a=0) XOR (b=0) pour l'appliquer à la figure suivante.

Application de la macro intrinsèque

Dans le cas de deux triangles, on n'a plus besoin de la droite (AM) et du point Z" comme dans la première approche ci-dessus. On applique simplement la macro (a=0) XOR (b=0) aux points M, Z et Z'. Lancer la figure Vxor2Ti.fig ci contre pour application de la macro ou la figure Xor2TRi.fig avec l'application de cette macro. On ferait de même avec les autres constructions que l'on peut charger plus haut dans la page, débarassées éventuellement des points OU déjà construits.

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