Les coniques avec Cabri
II
Définition
monofocale
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Description plus
détaillée de ces pages
1 - Premières Macros issues de la
définition monofocale
On commence par construire une macro qui à partir d'une
droite D, et de deux points F et A, donne l'unique conique de
directrice D, de foyer F et passant par A. La donnée du point
A est équivalente à celle de l'excentricité
traditionnelle dans cette présentation, et elle a un
intérêt évident de manipulation directe. Cette
macro est construite dans un souci de
généralité, c'est-à-dire fonctionnant
pour toute valeur de l'excentricité.
Deux approches classiques sont proposées pour cette
construction :
celle basée sur le
(premier) théorème de Poncelet qui est
montré au passage. On aboutit donc à deux macros
possibles qui seront toujours utilisées dans les items de
construction.
Cette introduction se poursuit par une construction
de coniques par Foyer, Directrice et excentricité, avec un
curseur pour l'excentricité. Comme application, on illustre la
similitude des coniques de même excentricité ...
même si c'est une évidence.
Elle se termine par une preuve géométrique (ie sans
utiliser de calculs autour de l'excentricité) de l'existence
d'un axe de symétrie autre que l'axe focal, et donc d'un
centre de symétrie, pour les coniques d'excentricité
différente de 1. On verra dans la partie bifocale que ces
arguments permettent de construire les foyers, pour peu que l'on
sache lequel des deux axes est l'axe focal ... ce qui n'est pas une
évidence en géométrie dynamique.
2 - Tangentes à une
conique
Trois pages pour trois constructions standards sur les tangentes
à une conique définie par foyer, directrice et
excentricité.
La construction d'une tangente en un
point (par Poncelet) revient sur la propriété liant
le foyer, la tangente et la directrice, dans un contexte
général sans considération de type de
conique.
Les deux applications de cette propriété sont
à considérer comme des exercices intéressants
sur les homothéties :
Reste qu'en illustrant ces considérations, nous sommes
assez éloigné des potentialités d'un outil de
manipulation directe des coniques : Cabri sert ici seulement de
témoin : on vérifie de manière perceptive que
les droites tracées sont bien des tangentes à la
conique ... Que l'on se rassure, d'autres réjouissances sont
à venir ...
3 - Exemples d'utilisation
Des macros permettant la construction de Cabri-coniques à
partir de leur définition monofocale étant
réalisées, les exercices de construction prennent une
saveur particulière du fait que l'on peut construire le
résultat mathématique cherché comme objet
à part entière, ce qui autorise de nouvelles
manipulations dynamiques par la prise de points sur objet par exemple
...
La dynamique de Cabri donne aussi parfois une nouvelle motivation
à l'approfondissement du détail de certaines
constructions qui doivent être correctes ... dans tous les cas
de figure. C'est ainsi que l'on verra apparaître, à
l'occasion, un soupçon de
géométrie logique pour rendre compte de la
solution d'une manière Cabri-correcte.
Trois exemples sont proposés, dans leurs dimensions
dynamiques :
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