- Exemple 3 -

Coniques dont on connait un foyer et trois points

Soient 4 points A, B, C et F. On s'intéresse à la construction des coniques de foyer F passant par A, B, et C.

Voir la figure ExpCnF3P.fig solution pour expérimenter (elle est présentée sans construction intermédiaire) ...   La suite détaille une construction possible.

La démarche détaillée ici va nous amener à construire, dans un premier temps, la directrice de l'une des coniques solutions. Si vous souhaitez travailler en temps réel, vous aurez alors besoin de la macro standard sur les coniques monofocale pour finir la figure. Dans un second temps, on expliqur la construction des 3 autres solutions.

Charger la macro CnkDFA1.mac qui construit la conique à partir des objets initiaux D, F, et un point de la conique.

Cette macro peut aussi servir à faire la première figure de l'analyse ci-dessous.

Observation d'une conique

Expérimentation autour d'une première solution

D'aprés ce qui précède, si on y arrive avec des cercles de rayon plus grand, la conique sera une ellipse, s'ils sont de rayon plus petit, une hyperbole. Il faudrait que les cercles soient tangents à une même droite dès le départ pour qu'une parabole de foyer F passe par A, B et C.

Reste maintenant à construire cette droite.

À propos des tangentes communes à deux cercles

Or cette construction va être trés aisée sur la base de cette remarque sur les tangentes communes à deux cercles :

On considère l'intersection (I) des tangentes communes extérieures à deux cercles donnés (en bleu). Si on agrandit dans un même rapport ces cercles - point k - leurs centres d'homothétie restent identiques, et en particulier le point d'intersection de leurs tangentes communes extérieures. Lancer la figure CnkCtgt.fig correspondante.

On pouvait aussi le constater dès la figure précédente où l'on voit clairement - quand on sait ce que l'on cherche - que les tangentes communes des cercles agrandis pivotent autour de deux points. Elles sont donc confondues quand ces droites passent par ces deux points.

Lancer la figure CnkF3pt2.fig ainsi complétée.

Ou encore

Charger une macro Tgt2CExt.mac qui construit les tangentes commnes EXTérieures à deux cercles (macro générale de cette page) pour faire la figure, ou refaire une figure de synthèse sur cette première solution.

Synthèse de cette solution

Notons I_MN le centre de l'homothétie positive qui transforme le cercle de centre M passant par F en le cercle decentre N pasant par F. Désignons également par C_i le cercle de centre i agrandi dans le rapport k (par exemple C_A est le cercle de centre A pasant par U dans les constructions précédentes).

Avec ces notations, les cercles C_A et C_B ont leurs tangentes communes qui pivotent autour du point I_AB.

On considère la droite (I_ABI_BC). En notant encore U, V, W les projections orthogonales sur cette droites respectivement de A, B, et C, il vient AF/AU = BF/BV car cette droite est une tangente commune à C_A et C_B.
De même on a également BF/BC = CF/CW car c'est aussi une tangente commune aux cercles C_B et C_C.

La droite est donc la directrice de la conique cherchée. On termine par la macro proposée en début de page qui construit la conique à partir de la directrice, du foyer et d'un point.

Les autres solutions

Nous avons privilégié la solution qui est (en général) une ellipse parm les solutions possible en cherchant à agrandir les cercles passant par F. Mais on peut aussi chercher à réduire les cercles.

Lancer la figure CnkF3pt3.fig ci-dessus.

Alors quand les cercles réduits deviennent disjoints, on peut construire les tangnetes communes intérieures à aux cercles. On sait que les intersections des tangentes communes JMN prises 2 à deux forment deux points alignés avec le point de contact des tangentes extérieures du troisième couple de cercle (par composition d'homothétie).

Les arguments et calculs dévloppés ci-dessus s'appliquent directement aux tangentes intéreures communes (2 signes "+" sont remplacés par deux signes "-" dans les mesures algébriques). Ces trois droites sont donc, elles aussi trois directrices des coniques cherchées :

Charger une macro Tgt2CInt.mac qui construit les tangentes commnes INTérieures à deux cercles (macro générale de cette page) pour faire la figure finale.

 

Lancer la figure CnkF3PMo.fig finale (dans la version monofocale).

Charger une macro CnkF3PMo.mac associée, d'objet initiaux A, B, C et F d'objet final les 4 coniques et leurs directrices.

Remarques : le cas où deux cercles sont de même rayon paraît oublié dans ce qui précède. Ce n'est pas le cas. La macro s'applique aussi dans cette situation. Il faut juste prendre la précaution de montrer les points A, B, C de tel manière que les deux cercles de même rayon passant par F soient de centre le premier point et le dernier point. En effet, le point I_AC, rejeté à l'infini dans ce cas de figure, n'est pas utilisé dans la construction. De même, il est intéressant, pour construire les directrices, de le faire à partir des points J, centres des homothéties de rapport négatif : ces points existent toujours alors que ceux de type I peuvent ne pas exister.

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