Tangentes communes à deux cercles

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Les constructions classiques des tangentes communes à deux cercles sont en défaut dans le cas particulier où les cercles sont de même rayon : les tangentes extérieures, quans elles sont construites - d'une façon ou d'une autre - par centre d'homothétie, disparaissent dès que les cercles deviennent isométriques puisque le centre d'homothétie associé est rejeté à l'infini. De même la construction usuelle des tangentes intéreures est aussi en défaut si les cercles sont tangents extérieurement. Cette page se propose de construire une macro-construction qui évite ce désagrément.

 

La construction standard et ses limites

Soient deux cercles non concentriques. On commence par construire les deux centres d'homothétie comme centre d'homothétie de deux diamètres parallèles (choisis orthogonaux à la droite de centres pour la transformation en macro-construction).

Quand les deux cercles sont isométriques le centre d'homothétie de rapport positif n'existe pas (renvoyé à l'infini) et celui de rapport négatif est le milieu des centres des cercles.

Remarque : On dit que le centre est "renvoyé à l'infini" par référence à la géométrie projective. En effet, les couples (I, J) et (O, O') sont en division harmonique et on sait que l'homologue harmonique du milieu de [OO'] est le point à l'infini dans la direction de (OO').

Charger la macro Centres d'homothétie de 2 cercles (Fichier "CHomo2C.mac")

Puis on poursuit classiquement par les tangentes en I et J à l'un des deux cercles : ce sont les tangentes communes.

Lancer la figure T2CIntro.fig actuelle.

Reste que cette construction présente un inconvénient majeur quand les cercles sont isométriques : les tangentes extérieures disparaissent puisque I disparait. De même, si J existe toujours, la construction des tangentes communes intérieures par les procédés usuels ne sont plus valides si les cercles sont tangents extérieurement en J

C'est ce que nous voulons éviter maintenant.

Piste vers une solution (tangentes extérieures)

 

On remarque que, si on note P et P' les points de contact d'une des tangentes communes extérieure avec les deux cercles et A et B' les points des cercles extérieurs à [OO'], alors (AP) et (B'P') se coupent sur l'axe radical des deux cercles, de même (PB) et (P'A'). Nous allons montrer que cette propriété est toujours vraie et qu'elle permet de construire les tangentes communes, y compris quand les cercles ont même rayon.

 

Utilisation de l'axe radical

Dès que deux cercles ne sont pas concentriques, on peut construire leur axe radical, ensemble des points de même puissance par rapport aux deux cercles. On sait que l'axe radical est une droite orthogonale à la droite des centres. Pour effectuer les constructions de ce paragraphe, vous pourriez avoir besoin de :

Charger la macro Axe radical de deux cercles (Fichier "AxeRad.mac")

On vérifiera que la macro est une bonne Cabri-macro qui fonctionne dans tous les cas de figure, y compris les cercles tangens.

On suppose connu que l'axe radical passe par l'intersection des cercles si celle-ci existe, qu'il est extérieur aux cercles sinon et qu'il est entre O et O' - et donc coupe le segment [OO'] - si et seulement si les cercles sont extérieurs l'un de l'autre :

 

 

Soient donc deux cercles non concentriques de centre O et O', le premier coupe la droite des centres en A et B le second, selon la même orientation, en A' et B'. Sauf si l'un des cercles est à l'intérieur de l'autre - et dans ce cas il n'y a pas lieu de chercher de tangentes communes extérieures, elles n'existent pas - l'axe radical est entre A et B' et coupe donc le cercle de diamètre [AB']. Soit U le centre de ce cercle et M l'un de ses intersections avec l'axe radical.

 

Le triangle AMB' est rectangle en M et U est le milieu de l'hypothénuse, donc AUM est isocèle en U. Dans le triangle AUM la parallèle à (UM) passant par O coupe [AM] en P. Par homothétie le triangle AOP est aussi isocèle, et donc OP = OA c'est-à-dire que P est l'intersection du segment [AM] avec le cercle de centre O.

De même pour le point Q intersection du segment [MB'] et de la parallèle à (UM) passant par O'. Pour les mêmes raisons, Q est en fait l'intersection du segment [MB'] et du cercle de centre O'. Et ainsi (OP) // (O'Q).

Nous nous porposons de montrer que la droite (PQ) est une tangente commune aux deux cercles. Comme cette droite existe même si les cercles sont de même rayon, cette construction répondra à notre question.

Les droites (PB) et (QA') se coupent en N. Il est immédiat que MPNQ est un rectangle, puisque ABP et A'QB' sont rectangles en P et Q. Montrons que N appartient à l'axe radical.

Les triangles BNA' et AMB' sont homothétiques (ils ont leurs côtés parallèles) et donc (toutes les égalités suivantes sont à lire en mesure algébrique) NB/MB' = NA'/MA soit encore MB'.NA' = MA.NB. Par ailleurs, dire que M est sur l'axe radical c'est dire - toujours en mesure algébrique - que MQ.MB' = MP.MA. Par quotient des deux égalité, on a MQ/NA' = MP/NB ou encore PN/NA' = QN/NB et donc NP.NB = NA'.NQ soit N sur l'axe radical des deux cercles. Donc (MN) est orthogonal à la droite des centres (OO'), et l'angle NMQ est le complémentaire de MB'A. En notant J l'intersection des diagonales, J est sur l'axe radical et JMQ est isocèle en J, et donc les angles JQM et JPB sont égaux au complémentaire de OPB. Autrement dit la droite (PQ) est tangente en P au cercle de centre O.

De même, elle est tangente en Q au cercle de centre O' : c'est une tangente commune extérieure.

Illustration dans le cas où les cercles sont sécants :
l'homothétie qui transforme AMB' en A'NB est de rapport positif.

 

Lancer la figure Tgt2Car.fig ci-dessus.

Il est clair que cette construction est valide même dans le cas où les cercles sont de même rayon (ci-contre). Il est facile de voir que c'est aussi l'unique cas où MPNQ est un carré.

 

On peut alors transformer cette figure en macro (Attention non définitive) pour vérifier qu'elle a encore une légère insuffisance :

Charger la macro Tangentes communes extérieures (temporaire) (Fichier "Tgt2CE1.mac")

Test aux conditions limites (effectué par Dominique Tournès lors d'une première version de cette page)

 

En effet, si les deux cercles sont tangents intérieurement (par exemple ci-dessus B' en B), la tangente commune est stable seulement quand on le premier cercle cliqué est le plus grand, quand il devient le plus petit la tangente commune n'existe que pour un pixel sur deux quand le centre du petit cercle est déplacé - par exemple sur une droite de référence :

Lancer la figure TestVal1.fig de test

Amélioration définitive de la construction

Quand on observe la figure de test ci-dessus, en comparaison avec le cas général, on voit bien que, dans le cas de l'illustration ci-dessus, le point Q n'existe en général pas, d'où l'impossibilité de construire la droite (PQ).

Une idée est alors de déterminer lequel des deux cercles est le plus grand, et faire la construction à partir de ce cercle, c'est-à-dire construire un point PouQ et la perpendiculaire en ce point au rayon du "bon cercle" passant par ce point.

Pour effectuer cette amélioration, il faut donc une approche légèrement plus technique (mais à peine) qui est un bon exemple de ce que peut être une construction de figure en géométrie dynamique. Nous vous proposons une solution sur une autre page. Vous pouvez aussi vous satisfaire du résultat (mais ne pas oublier que cette solution débouche sur des considérations logiques très intéressantes) et

Charger la macro Tangentes communes extérieures 2 cercles (Fichier "Tgt2CExt.mac")

Remarque : Cette fois-ci les deux tangentes extérieures existent même quand les cercles sont tangents intérieurement (et dans ce cas, on a alors deux tangentes).

Lancer une figure TestVal2.fig de test-validation

 

Les tangentes communes intérieures

 

La démarche est proche de la précédente : à partir du cercle de diamètre [AA'], on construit un point M de ce cercle et de l'axe radical des deux cercles de base, puis le point P comme intersection de [AM] et du cercle de centre O. La perpendiculaire à [OP] est une tangente intérieure commune aux deux cercles. La seconde peut se construire par symétrique comme ci-dessus ou à partir du cercle de diamètre [BB']. On remarquera l'intersection de la droite (MA') et du cercle de centre O'. Les résultats se montreraient sans difficulté comme dans le cas précédent.

Lancer la figure Tgt2CInt.fig ci-contre.

Charger la macro Tangentes communes intérieures 2 cercles (Fichier "Tgt2CInt.mac")

On notera que l'on ne rencontre pas le même problème d'existence des tangentes intérieures que précédemment : si les cercles sont tangents en B =A', la construction existe bien.

Enfin, on peut réunir les deux macros en une seule :

Charger la macro Tangentes communes à 2 cercles (Fichier "TgtCom2C.mac")

 

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