Le théorème

Soit ABCDEF un hexagone inscrit dans un cercle. Alors si les côtés opposés se coupent en M, N et P, les trois points M, N, P sont alignés.

 

Lancer la figure Pascal.fig ci-dessus.

Démarche générale de la preuve

Cette preuve par la puissance d'un point par rapport à un cercle suppose que le triangle IJK existe, c'est-à- dire que deux côtés de l'hexagone ne sont jamais parallèles (pour que à la fois M, N, P, et I, J, K existent). On peut le rajouter dans les hypothèses, ou étendre la preuve aux cas particuliers.

On va appliquer 3 fois le théorème de Ménélaüs dans le triangle IJK, puis en faisant les produits membre à membre, on aura 9 fractions dont le produit sera égal à 1. En regroupant les produits utilisant I, puis J, puis K et les points de l'hexagone, un regroupement de 6 termes va être égal à 1 par la puissance de ces point par rapport au cercle. Reste un produit de 3 autres termes égal à 1. Par la réciproque de Ménélaüs, cela signifiera que les points M, N, et P sont alignés.

Détail de la démonstration

1. Puissances par rapport au cercle

1.a. de I :
1.b. de J :
1.c. de K :

2. Ménélaüs dans le triangle IJK

M, A, B alignés :

N, D, C alignés :

P, E, F alignés :

3. Par produit on a donc, en regroupant les termes :

Or la deuxième parenthèse est égale à 1 par la relation 1.a, la suivante aussi par 1.b ainsi que la dernière par 1.c. Il reste donc : , soit par la réciproque de Ménélaüs dans IJK, que les points M, N, et P sont alignés.

Compléments

Un des intérêts de ce théorème est qu'il présente une configuration d'incidence (alignement) relative au cercle. Le résultat reste donc vrai aussi pour les ellipses puisque l'on passe d'un cercle à une ellipse par une transformation affine dont on sait qu'elle conserve l'alignement. En réalité, c'est aussi vrai pour tout conique puisque la propriété est projective et que l'on passe d'un cercle à une conique quelconque par homologie.

On peut aussi montrer le résultat dans le cas général - y compris le cas particulier suivant - par les barycentres.

Un cas particulier (affine) important

C'est même l'exemple archétypique du changement de géométrie (ou encore de la méthode dite des figures réduites) : pour montrer un résultat d'incidence sur les ellipses, on le montre sur un cercle et on transforme par une bijection affine.

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