Le théorème de Pascal : illustrations et notations utilisées (Claude Tisseron - Ed. Hermann)

Six points A, B, C, A', B', C', dont trois ne sont jamais alignés, sont sur une même conique si et seulement si les intersections P de (AB') et (BA'), N, de (AC') et (CA') et M de (BC') et (CB') sont trois "points alignés".

 

Illustrations - Preuve - Consèquences

 

Illustration dans le cas général

Illustration dans le cas où l'une des trois intersections n'existe pas (par exemple M)

Dans ce cas les coordonnées barycentriques de l'intersection deviennent les coordonnées du vecteur directeur des deux droites parallèles (BC') et (CB'). Le théorème s'étant à ce cas en interprétant l'expression "points alignés" par le fait que le vecteur dirige la droite (NP).

Illustration dans le cas où deux des trois intersections n'existent pas

Le théorème s'étend encore à ce cas en interprétant l'expression "points alignés" par le fait que la troisième intersection n'existe pas, et donc que ces trois vecteurs vecteurs dirigent les directions des côtés deux à deux parallèles. Autrement dit, un cas très particulier du théorème de Pascal veut qu'un hexagone formé de côtés opposés deux à deux parallèles est toujours inscrit dans une conique.

Voir une illustration esthétique de ce cas particulier dans le théorème de Morley, ou encore une structure de groupe sur les coniques utilisant ce même cas particulier.

Illustrations - Preuve - Conséquences

 

Preuve du théorème de Pascal par les coordonnées barycentriques (Tisseron)

Théorème : Six points A, B, C, A', B', C', dont trois ne sont jamais alignés, sont sur une même conique si et seulement si les intersections P de (AB') et (BA'), N, de (AC') et (CA') et M de (BC') et (CB') sont trois "points alignés".

On se place dans le repère affine (A, B, C), ainsi l'équation barycentrique d'une conique passant par ces trois points est uyz + vzx + wxy = 0, avec u, v, w non tous nuls.

Notons alors les coordonnées barycentriques de A', B', C' par A'(a, a', a"), B'(b, b', b") et C'(c, c',c").

Calcul des coordonnées barycentriques de M, N et P - Condition d'alignement

À partir de A (1, 0, 0) et B'(b, b', b"), des coordonnées tangentielles de (AB') sont A ^ B' soit (0, -b", b'). De même, on trouve pour coordonnées tangentielles de (BA') : B ^A' soit (a", 0, -a). Et donc, les coordonnées de leur intersection - ou de leur direction si elles sont parallèles, sont P (ab", b'a", b"a").

De même on trouve N(ac', a'c', c"a') et M (bc, b'c, c"b).

Ainsi, les trois "points" sont "alignés", (au sens rappelé dans les illustrations) ssi D, le déterminant de leurs coordonnées, est nul.

Conditions pour que A', B', C' soient sur une conique passant par A, B, et C

Les trois réels u, v et w doivent vérifier le système en inconnues U, V, W :

Les points A', B', C' seront sur une conique passant par A, B et C ssi ce système homogène admet une solution non triviale, et donc que ce n'est pas un système de Cramer, soit encore ssi D' = 0.

Equivalence des deux condtitions

Le calcul, par exemple par la formule de Sarrus, montre que les deux déterminants sont formellement identiques. La nullité de D est donc équivalente à celle de D'.

Unicité de la conique ainsi trouvée

Le déterminant D est nécessairement de rang 2. S'il était de rang 1, les trois points M, N et P seraient confondus. Or, par exemple, M = N conduit à A, B, C alignés, et c'est par hypothèse un repère affine. Comme D = D', D' est aussi de rang 2, donc les solutions effectives (u, v, w) du système sont proportionnelles: elles définissent la même conique.

Illustrations - Preuve - Consèquences

 

Conséquences - Extension

L'item Conique de Cabri : Tracé d'une conique connaissant 5 points

Si on connaît 5 points A, B, C, A' et B', d'une conique, on peut utiliser le théorème de Pascal pour en construire un sixième :

 

En faisant tourner la droite d autour de P, on obtient ainsi une génération par point d'une conique à partir de 5 de ces points, et cette construction permet de conclure que par 5 points dont 3 ne sont pas alignés, il passe une unique conique.   Pascal06.fig

Le cas où deux points sont confondus : construction de la tangente en un point d'une Cabri-conique

On peut affiner les hypothèses du théorème de Pascal puisque quand nous disons "... dont 3 ne sont pas alignés", nous avons besoin seulement de savoir que la conique est non impropre - ou non dégénérée. Mais on peut faire la même preuve en supposant que deux points - par exemple B et C' - sont confondus. Cette information se traduisant alors par la donnée de la tangente en C' à la conique. Ainsi, on peut construire à la règle et au compas, à partir de 5 points d'une conique, non seulement un sixième point C', mais aussi la tangente à la conique en ce point.

Pascal07.fig

 

Une autre façon de voir la situation - peut-être plus simple pour une première lecture - est de considérer 4 points d'une conique, alors la tangente en un cinquième point, connu comme étant sur la conique est facilement constructible comme ci-dessous :

 

PasApp02.fig ou TgSurCnk.mac

 Illustrations - Preuve - Consèquences

Menu général