[6.2.A les centres des triangles de Morley] [6.2.C autres propriétés des coniques de 6.2.B]
[6.1 - Les centres de Morley]

Comme il passe toujours une conique par 5 points (non dégénérée si trois points ne sont pas alignés), on s'intéresse à l'équivalent de la cocyclicité de 4 point pour les coniques : le regroupement de 6 points sur une même conique. Nous parlerons de "co-conicité" (bon, c'est pas trés joli)

Les centres de 18 triangles sur 3 coniques disjointes

Les preuves sont proposées plus loin sur la page, mais si on veut observer avec Cabri que 6 points sont sur une même conique on peut construire la conique qui passe par 5 de ces points et vérifier, par les propriétés de Cabri, que le dernier point est bien sur la conique construite.

Le premier résultat est entièrement contenu dans la figure suivante :

Notations retenues pour les centres

Preuve

L'angle (géométrique) B₅C₂ O₁ B₁C₄ vaut 2Pi/2. Or il est clair, puisque B₅C₂ A₅B₄ A₄C₁ et B₁C₄ A₅B₂ A₄ C₅ sont tous deux équilatéraux, que c'est aussi l'angle de O₂O₁O₆. On montrerait de même les angles O₁O₆O₅, O₆O₅O₄, O₅O₄O₃, O₄O₃O₂ et O₃O₂O₁ font eux aussi tous 2Pi/3. Il en résulte que l'hexagone O₁O₂O₃O₄O₅O₆ a ses côtés opposés parallèles.

Or on sait que c'est un cas particulier du théorème de Pascal dit de "l'hexagramme mystique" pour que ces 6 points soient sur une même conique.

En considérant au départ le triangle équilatéral B₃C₆ A₅B₆ A₄C₃ et deux associés, on montre de la même manière que les points l'hexagone O₇O₈O₉O₁₀O₁₁O₁₂ a aussi ses côtés opposés parallèles et qu'il est donc lui aussi inscrit dans une conique.

Par ailleurs, on notera que les côtés correspondants sont respectivement parallèles. Par exemple (O₁O₂) // (O₇O₈) car ces droites sont des hauteurs de triangles équilatéraux de même base (B₃C₆ A₃B₆).

Cet argument des hauteurs convient bien aussi pour les six derniers points, de O₁₃ à O₁₈. Par exemple il est clair que (O₁₃ O₁₄) // (O₁ O₂) car O₁₃ et O₁₄ sont sur la hauteur de deux triangles équilatéraux issues de A₃B₂ donc ils forment une droite perpendiculaire à (A₄C₁ A₂C₅) par exemple. Ainsi, par parallèlisme au premier hexagone, il est évident que les points O₁₃ à O₁₈ sont inscrits eux aussi sur une même conique.

Les centres de 9 derniers triangles  

On ajoute les centres O₁₉ à O₂₇ qui sont ceux de 9 triangles formant une partition des 27 points (la partition retenue dans la présentation de la page 3). On notera que les points O₁₉ à O₂₄ sont sur les côtés de l'hexagone O₁...O₆. C'est évident par les arguments de hauteur par exemple. De même O₁₉ est sur (O₈ O₉), O₂₀ sur (O₇ O₈) etc ... nous avons donc de nombreux parallélogrammes comme O₂O₂₀O₈O₁₉ mais aussi O₂O₃O₉O₁₉ ou encore O₃O₄O₂₂O₉ et donc O₂O₄O₂₂O₁₉. Et ainsi de suite, nous ne nous attarderons pas sur les trés nombreux parallélogrammes ainsi présents dans cette figure, leur existence est évidente, et nous les utiliserons spontanément quand cela sera utile.

On remarquera par contre que les points O₁₉ à O₂₄ ne sont pas six points d'une même conique.

Notation des points

Quelques coniques contenant ces points

Parmi tous ces points, supprimons ceux qui intervienent déjà dans la classification de la page précédente, c'est-à-dire ceux qui sont sur les médiatrices du triangle ABC. Ce sont les centres O₁ - O₃ - O₅ sur la première conique, puis O₈ - O₁₀ - O₁₂ sur la deuxième conique et O₁₄ - O₁₆ - O₁₈ sur la troisième conique. Utilisons les parallèlogrammes précédents pour chercher des regroupement de 6 points sur une même conique :

a - Trois coniques passant par O₂₅

En reprenant la figure générale, il est clair en considérant les triangles dont ils sont le centre d'une par que O₁₉O₂O₁₅O₂₅ est un parallélogramme et d'autre part que O₂O₂₀O₂₅O₁₃ est aussi un parallèlogramme. Autrement dit, non seulement les six points O₁₉, O₂, O₂₀, O₁₅, O₂₅, O₁₃ sont sur une même conique, par le théorème de Pascal, mais de plus ce sont des diamètres de cette conique puisque les trois segments [O₁₉ O₁₅], [O₂ O₂₅], [O₂₀ O₁₃] ont même milieu.

Chacun pour reprendre ce raisonnement pour les autres coniques proposées ci-dessous, y compris en b et c donnés pour le plaisir des yeux.

  MRLCCM3.fig (figure intermédiaire)

a - Trois coniques passant par O₂₆

Par exemple ici, comme détaillé ci-dessus, O₁₉O₂O₄O₂₂ est un parallèlogramme, de même pour O₂₆O₂O₉O₂₂ ce qui assure à nouveau que les six points sont sur une même conique et que l'on a affaire à trois diamètres de la conique.

  MRLCCM4.fig (figure intermédiaire)

 

c - Trois coniques passant par O₂₇

L'illustration suivante est aussi celle des limites de l'exploration en vue de conjecture avec un logiciel de simulation (ie non associé à un calcul formel par exemple). En effet, pour ces hyperboles, l'appartenance du dernier point à l'hyperbole est sensible à la construction de l'hyperbole. Par exemple, pour une même configuration de points :

Justifions précisément la "co-conicité" de ces points - par exemple pour la conique bleue, les autres se traitant de manière identique par permutation circulaire.

O₁₉O₉O₁₁O₂₄ est un parallèlogramme car les côtés [O₉O₁₉] et [O₁₁O₂₄] sont paralléles et de même longueur (égale par exemple à O₂O₃). Par ailleurs (O₁₉O₁₃) // (O₂₇O₁₁) car toutes deux perpendiculaires à (B₃C₆ A₆B₃). De même (O₁₃O₂₄) // (O₉O₂₇) comme perpendiculaires à (B₃C₆ A₃B₆). Ainsi la symétrie centrale de centre le milieu de [O₁₉O₁₁] transforment O₉ en O₂₄, envoie aussi - par parallélisme - O₁₃ sur O₂₇. Cela suffit pour montrer tout d'abord que l'hexagone O₁₃O₁₉O₉O₂₇O₁₁O₂₄ a ses côtés deux à deux parallèles dont est inscrit dans une conique, ensuite que ces six points sont les extrémités de trois diamètres de cette conique.

 

  MRLCCM5.fig (figure intermédiaire)

 

c - Figure regroupant les 9 coniques

Chacun remarquera les symétrie de construction, en particulier dans l'utilisation des 9 derniers centres dans ces constructions de coniques. Il est clair que d'autres groupes de 6 points sur une même conique existent : plus précisément, en considérant les 27 centres, il ne serait pas surprenant que l'on trouve des coniques telles que par chaque sommet il en passe 3, comme pour les triangles équilatéraux : en regroupant ces 9 coniques avec les 3 du départ, c'est déjà vrai pour les centres O₂, O₄, O₆, O₁₃, O₁₅, O₁₇, O₂₅, O₂₆, O₂₇. Ces pages sont donc transitoires : elles ont été mises en ligne pour succiter la curiosité ... l'auteur n'ayant plus actuellement le loisir de poursuivre ... mais il "y retournera" dès que possible.

  MRLCCM6.fig (figure intermédiaire )

 

 [6.2.C autres propriétés remarquables de ces coniques]

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