Théorème de Morley

6.2 - Complément : les centres des triangles de Morley

 [6.2.B les centres des triangles de la configuration de Morley]
[6.1 - Les centres de Morley]

 [1 - Théorème initial] [2 - Les 6 trissectrices d'un angle - Notations] [3 - Les 27 triangles équilatéraux de Morley]
[4 - Autres triangles équilatéraux de la configuration ] [5 - Commentaires et figures finales]
[7 - Historique et Références] [Retour "Grands Classiques"] [Retour "Géométrie Plane"]

 

Rappel : les résultats et classements proposés dans cette page 6.2.A sont actuellement des résultats expérimentaux obtenus par l'utilisation de Cabri, mais la preuve est en cours de rédaction, en particulier avec des arguments de André Viricel.

 

Les centres des 18 triangles ayant leurs côtés parallèles aux trissectrices

D'une manière générale, pour ces 18 triangles, on a choisi de distinguer les 6 centres par couleur, de manière à pouvoir retrouver les centres par les couleurs et les médiatrices de ABC.

a - Les triangles dont les côtés sont parallèles aux trissectrices de A.

 

 

   Les centres des 6 triangles équilatéraux sont alignés sur la médiatrice de [BC]

MRLaaC.fig ou la macro TRtypeaa.mac

 

b - Les triangles dont les côtés sont parallèles aux trissectrices de B.

 

 

    Les centres des 6 triangles équilatéraux sont alignés sur la médiatrice de [AC]
MRLbbC.fig ou la macro TRtypebb.mac

 

c - Les triangles dont les côtés sont parallèles aux trissectrices de C.

 

 

    Les centres des 6 triangles équilatéraux sont alignés sur la médiatrice de [AB]
MRLccC.fig ou la macro TRtypecc.mac

 

Couleur
du centre

Sur la médiatrice
de [BC]

Sur la médiatrice
de [AC]

Sur la médiatrice
de [AB]

Rouge

B2C2 B4C4 B6C6

A2C2 A4C4 A6C6

A2B2 A4B4 A6B6

Bleu foncé

B1C1 B3C3 B5C5

A1C1 A3C3 A5C5

A1B1 A3B3 A5B5

Rose

B1C5 B3C1 B5C3

A1C5 A3C1 A5C3

A1B5 A3B1 A5B3

Vert foncé

B2C6 B4C2 B6C4

A2C6 A4C2 A6C4

A2B6 A4B2 A6B4

Marron foncé

B1C3 B3C5 B5C1

A1C3 A3C5 A5C1

A1B3 A3B5 A5B1

Orange

B2C4 B4C6 B6C2

A2C4 A4C6 A6C2

A2B4 A4B6 A6B2

 

d - Les 9 autres triangles ayant leurs côtés parallèles 3 par 3

 

 

Les centres des 9 triangles équilatéraux suivants sont aussi alignés sur les médiatrices de ABC
MRL9abcC.fig ou la macro TRtype9S.mac

 

Couleur
du centre

Sur la médiatrice
de [BC]

Sur la médiatrice
de [AC]

Sur la médiatrice
de [AB]

Bleu Clair

B2C3 B4C5 B6C1

A3C2 A5C4 A1C6

A2B3 A4B5 A6B1

Gris (Niv 2)

B2C1 B4C3 B6C5

A1C2 A3C4 A5C6

A2B1 A4B3 A6B5

Vert clair

B2C5 B4C1 B6C3

A5C2 A1C4 A3C6

A2B5 A4B1 A6B3

d - Les 9 autres triangles ayant leurs côtés parallèles 3 par 3

La partition des 27 points de la configuration de Morley proposée en page 3 ne convient pas. Il est facile d'en trouver une autre :

 

 

Les centres d'une des partitions de la configuration de Morley sont aussi alignés sur les médiatrices de ABC
MRL9abcC.fig ou la macro TRtypeCM.mac

 

Couleur
du centre

Sur la médiatrice
de [BC]

Sur la médiatrice
de [AC]

Sur la médiatrice
de [AB]

Jaune

B1C4 B3C6 B5C2

A4C1 A6C3 A2C5

A1B4 A3B6 A5B2

Noir

B1C2 B3C4 B5C6

A2C1 A4C3 A6C5

A1B2 A3B4 A5B6

Marron clair

B1C6 B3C2 B5C4

A6C1 A2C3 A4C5

A1B6 A3B2 A5B4

e - Macro finale

 

Extrait de la figure produite par la macro

On peut regrouper toutes ces observations dans une seule macro qui renvoie les 36 centres de ces triangles équilatéraux. Pour utiliser cette macro, on remarquera qu'avec la couleur des centres et la médiatrice qui le contient, on repère facilement le triangle dont un point donné est le centre.

 

36CtrTRM.fig ou la macro

36CtrTRM.mac (objets initiaux A, B et C à montrer DANS LE SENS DIRECT)

La page suivante 6.2.B aborde le centre des 27 triangles de la configuration de Morley (page 3) obtenus à partir de 27 points seulement. L'existence des coniques ainsi construites est facile à prouver.

 

  [6.2.B les centres des triangles de la configuration de Morley]
[6.1 - Les centres de Morley]

 [1 - Théorème initial] [2 - Les 6 trissectrices d'un angle - Notations] [3 - Les 27 triangles équilatéraux de Morley]
[4 - Autres triangles équilatéraux de la configuration ] [5 - Commentaires et figures finales]
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