Note en date du 2/02/98 : ce dossier avait été mis en ligne le 20/01/98. Depuis, l'auteur a reçu plusieurs informations, et en particulier :

- L'existence d'un ouvrage en français entièrement consacré au Théorème de Morley :

Théorème de Morley
par André Viricel (et la précieuse collaboration de Jacques Bouteloup)
Editions ADCS

(A.D.C.S. - BP 222 - 80002 Amiens Cedex 1)

Une réécriture du dossier Morley sera effectuée aprés la restructurartion d'abraCAdaBRI : les pages seront alors accompagnées de preuves : l'ouvrage de Viricel et Bouteloup sera largement utilisé.

Contexte historique

Morley a montré le théorème initial en 1899. Il semble qu'il ait aussi trouvé la configuration des 27 triangles dès 1900. Toutefois Morley lui-même n'a rien publié avant 1929. Ces premiers résultats - Page 1 et 3 de cette présentation - ont été publiés par Taylor et Marr en 1914.

C'est en étudiant les centres des cardïodes tangentes aux trois côtés d'un triangle que Morley a découvert cette propriété des trissectrices. En effet ces centres sont portés par 27 droites formant trois directions d'angle "2pi/3" entre elles. Les côtés du triangle de Morley sont portés par trois de ces droites. De plus, les sommets du triangle de Morley sont les centres de certaines de ces cardïodes.

Ces résultats - accompagnés de détails supplémentaires - sont proposés en exercice par Marcel Berger (Tome 1 p 319).

Références bibliographiques en français

Le théorème de Morley (dans la version initiale) est proposé en exercice, ou traité dans différents ouvrages

Approche géométrique

Marcel Berger - Géométrie - Nathan - 1992 - Tome 1 - (exercice)

Jean Marie Monier - 700 exercices corrigés et 10 sujets d'étude - Dunod - 1994 (c'est le sujet 3.4. p 49)

Approche trigonométrique

Marcel Berger - Géométrie - Nathan - 1992 - Tome 1 - p 332

Jean Fresnel - Méthodes modernes en géométrie - Hermann - 1996 - p 204

André Avez - La leçon de géométrie à l'oral de l'agrégation - Masson - 1997 - p 170

Claude Tisseron - Géométries affine, projective et euclidiennes - Hermann - p 294

La configuration de Morley des 27 triangles équilatéraux construits à partir de 27 points d'intersection est traité entièrement dans

Henri Lebesgue - Leçons sur les constructions géométriques - (Ré)édition Gabay - 1987 - p 173 à 186.

 

Références bibliographiques anglaises

Les références ci-dessous ont été prises sur le Net, et n'ont pas été encore consultées par l'auteur de ce dossier - le webmestre d'abraCAdaBRI - au moment de la mise sur le Net. Elles sont en commande ... le dossier devrait donc s'enrichir avec le temps ... peut-être y verra-t-on que certains (tous ?) des résultats obtenus ici expérimentalement étaient déjà connus et montrés.

La publication de Morley lui-même

American Journal of Mathematics, F. Morley, 51 (1929), pp. 465-472.

La première publication sur ces résultats (dans un même volume) :

Marr, W. L. ``Morley's Trisection Theorem: An Extension and Its Relation to the Circles of Apollonius.'' Proc. Edinburgh Math. Soc. 32, 136-150,

1914.

Taylor, F. G. ``The Relation of Morley's Theorem to the Hessian Axis and Circumcentre.'' Proc. Edinburgh Math. Soc. 32, 132-135, 1914.

Taylor, F. G. and Marr, W. L. ``The Six Trisectors of Each of the Angles of a Triangle.'' Proc. Edinburgh Math. Soc. 32, 119-131, 1914.

La preuve proposée par Monier utilise un livre de référence en géométrie:

Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 47-50, 1967.

Aures travaux autour de cette configuration :

Gardner, M. Martin Gardner's New Mathematical Diversions from Scientific American. New York: Simon and Schuster, pp. 198 and 206, 1966.

Honsberger, R. ``Morley's Theorem.'' Ch. 8 in Mathematical Gems I. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 92-98, 1973.

Johnson, R. A. Modern Geometry: An Elementary Treatise on the Geometry of the Triangle and the Circle. Boston: Houghton Mifflin Co., pp. 253-256, 1929.

On trouvera en particulier 150 références de travaux autour de cette configuration dans l'article suivant :

Cletus O. Oakley and Justine C. Baker, "The Morley trisector theorem," Amer. Math. Monthly 85 (1978) 737-745.

Références sur le Net (parmi d'autres auquelles on accédera par les liens)

http://www.astro.virginia.edu/~eww6n/math/Morley'sTheorem.html

http://www.astro.virginia.edu/~eww6n/math/MorleyCenters.html

Pour une preuve en Mapple

http://www.evansville.edu/~ck6/tcenters/recent/index.html

On devrait en trouver en Mathematica.
Merci de transmettre à abraCAdaBRI les coordonnées que vous pourriez trouver.

Menu général