Les centres de Morley

Théorème de Morley

6 - Compléments : Présentation

[6.1 - Les centres de Morley] [6.2 - Les centres des triangles de Morley]

[1 - Théorème initial] [2 - Les 6 trissectrices d'un angle - Notations] [3 - Les 27 triangles équilatéraux de Morley]
[4 - Autres triangles équilatéraux de la configuration ] [5 - Commentaires et figures finales]
[7 - Historique et Références] [Retour "Grands Classiques"] [Retour "Géométrie Plane"]

A propos des centres de Morley

L'existence de ce centre M a été mis en évidence en 1967 par Peter Yff qui en a calculé ses coordonnées barycentriques dans le repère (A, B, C) :

sin(A)/cos(A/3)
sin(B)/cos(B/3)
sin(C)/cos(C/3)

La page 6.1 met en évidence - toujours expérimentalement - l'existence de 17 autres tels centres de Morley et s'essaie à quelques propriétés relatives à ces points.

A propos des centres des triangles de Morley

Comme on peut le voir ci-dessous, la configuration (déjà rencontrée : MRLcc.fig) des six triangles équilatéraux aux côtés parallèles aux trissectrices issues de C ont leurs centres alignés. Et qui plus est, alignés sur la médiatrice du côté [BC].

La page 6.2 se propose d'illustrer - et fournir les figures - que les 27 triangles répertoriés dans la partie 4 ont leurs centres sur les trois médiatrices du triangle de base. De plus, au moins une partition des 27 points de la configuration de Morley (Partie 3) est aussi de cette forme. On arrive donc au résultat suivant :

Il existe une partition des 108 points d'intersection des trissectrices d'un triangle en 36 triangles équilatéraux qui ont leurs centres, 12 par 12 sur chacune des trois médiatrices du triangle de départ.

Une seconde partie (6.2.B) s'intéresse aux centres des 27 triangles équilatéraux de la configuration de Morley. On y verra des propriétés surprenante, et en particulier que ces 27 centres peuvent se répartir par six sur plusieurs coniques.

[6.1 - Les centres de Morley] [6.2 - Les centres des triangles de Morley]

A propos des centres de Morley

L'existence de ce centre M a été mis en évidence en 1967 par Peter Yff qui en a calculé ses coordonnées barycentriques dans le repère (A, B, C) :

sin(A)/cos(A/3)
sin(B)/cos(B/3)
sin(C)/cos(C/3)

La page 6.1 met en évidence - toujours expérimentalement - l'existence de 17 autres tels centres de Morley et s'essaie à quelques propriétés relatives à ces points.

A propos des centres des triangles de Morley

Comme on peut le voir ci-dessous, la configuration (déjà rencontrée : MRLcc.fig) des six triangles équilatéraux aux côtés parallèles aux trissectrices issues de C ont leurs centres alignés. Et qui plus est, alignés sur la médiatrice du côté [BC].

Il existe une partition des 108 points d'intersection des trissectrices d'un triangle en 36 triangles équilatéraux qui ont leurs centres, 12 par 12 sur chacune des trois médiatrices du triangle de départ.

Une seconde partie (6.2.B) s'intéresse aux centres des 27 triangles équilatéraux de la configuration de Morley. On y verra des propriétés surprenante, et en particulier que ces 27 centres peuvent se répartir par six sur plusieurs coniques.

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A propos des centres de Morley

L'existence de ce centre M a été mis en évidence en 1967 par Peter Yff qui en a calculé ses coordonnées barycentriques dans le repère (A, B, C) :

sin(A)/cos(A/3) sin(B)/cos(B/3) sin(C)/cos(C/3)

La page 6.1 met en évidence - toujours expérimentalement - l'existence de 17 autres tels centres de Morley et s'essaie à quelques propriétés relatives à ces points.

A propos des centres des triangles de Morley

Comme on peut le voir ci-dessous, la configuration (déjà rencontrée : MRLcc.fig) des six triangles équilatéraux aux côtés parallèles aux trissectrices issues de C ont leurs centres alignés. Et qui plus est, alignés sur la médiatrice du côté [BC].

Il existe une partition des 108 points d'intersection des trissectrices d'un triangle en 36 triangles équilatéraux qui ont leurs centres, 12 par 12 sur chacune des trois médiatrices du triangle de départ.

Une seconde partie (6.2.B) s'intéresse aux centres des 27 triangles équilatéraux de la configuration de Morley. On y verra des propriétés surprenante, et en particulier que ces 27 centres peuvent se répartir par six sur plusieurs coniques.

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sin(B)/cos(B/3)
sin(C)/cos(C/3)