Puissance d'un point par rapport à un cercle

Introduction à la notion

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On considère un cercle C, un point M. Une droite passant par M coupe C en deux points A et B.

Définition de la puissance d'un point par rapport à un cercle

Pour toute droite passant par un point M, et d'intersection A et B avec un cercle C, de centre O et de rayon R, le produit scalaire : est constant et vaut :

Cette quantité PC(M) = MO2 - R2 est appelée puissance de M par rapport au cercle C.
Il suffit d'écrire .

Si T est un point de contact du cercle et d'une tangente issue de M, la puissance de M par rapport à ce cercle s'écrit aussi :

PC(M) = MT2

Dans un contexte de géométrie dynamique - mais cela est déjà présent dans Deltheil & Caire - il est naturel d'étendre la notion de puissance au cas où le cercle se réduit au point O, on parle alors de puissance par rapport au cercle point O, elle vaut bien-sûr : PO(M) = MO2.

Il en résulte par exemple que MT est la moyenne géométrique de MA et MB.

Par définition il est immédiat que :

M est extérieur au cercle C ssi PC(M) > 0
M appartient au cercle C ssi PC(M) = 0
M est intérieur au cercle C ssi PC(M) > 0

 

Cocyclicité de 4 points par la puissance

Soient 4 points A, B, C et D tels que (AB) et (CD) soient sécantes en M.

Alors ces 4 points sont cocycliques ssi :

Le sens direct est immédiat d'aprés ce qui précède. Pour la réciproque, on considère le cercle circonscrit à A, B, C. La droite (MC) coupe ce cercle en D'. On applique le sens direct, il en résulte alors que D = D'.
 

Equivalence avec la caractérisation angulaire de la cocyclicité

On est toujours dans l'hypothèse de 4 points A, B, C et D tels que les droites (AB) et (CD) soient sécantes en M.

Si on connait la condition de cocyclicité (BA, BC) = (DA, DB), on peut en déduire que les triangles MAD et MCB sont semblables et donc la relation :

Réciproquement, cette égalité permet de dire que les triangles MAD et MCB ont un angle égal (en M) compris entre deux côtés proportionnels. Cela suffit pour dire qu'ils sont semblables et donc pour conclure à l'égalité des angles de droite.

Remarque : l'équivalence n'a lieu que dans notre hypothèse d'intersection des droites (AB) et (CD) alors que la caractérisation angulaire est plus générale.

 
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