Utilisation de l'outil "Puissance"
2 - Cercles tangents à un cercle et passant par deux points

 

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Etant donnés un cercle C et deux points A et B, il s'agit de construire les cercles tangents à C passant par A et B.

Quelques macros de base peuvent être utiles, vous pouvez :

Charger la macro Cercle circonscrit à 3 points et la macro Tangentes issues d'un point simplement pour éviter de surcharger votre figure.

 

Le principe : construire un point sur l'axe radical des deux cercles

Etant donné un cercle passant par A et B et sécant à C - par exemple le cercle circonscrit à A, B et O comme ci-contre - on peut construire un point de l'axe radical du cercle cherché et du cercle donné C par l'intersection de l'axe radical (UV) des deux cercles de la figure et de la droite (AB).

I est donc sur l'axe radical d'un cercle C' solution et du cercle C. Comme ces cercles sont tangents, cet axe radical est leur tangente commune donc I est sur la tangente commune à C et C' cherché.

Remarque : Ce point I peut ne pas exister, si OAB est isocèle en O. Pour la construction, on terminera donc par un triatement logique si on souhaite que la macro fonctionne aussi dans ce cas.

Les tangentes au cercle C issues de I construites par la macro proposée ci-dessus (ou "à la main") ont leurs points de contact avec le cercle en J et K. Les cercles ciconscrits à ABJ et ABK sont donc les deux seuls cercles solutions à ce problème.

 

Lancer la figure TC2P1Ca.fig ci-dessus (correcte seulement pour A et B extérieurs au cercle).

 

Version dynamique de la construction

 

Par construction, dans la figure ci-dessus les points U et V peuvent ne pas exister quand A et B sont intérieurs au cercle, en particulier quand celui-ci contient entièrement le cercle circonscrit à OAB ! Pour des applications aux coniques par exemple, il est utile de réaliser une figure qui soit correcte dans tous les cas, c'est-à-dire de construire un cercle passant par A et B qui coupe le cercle initial dans tous les cas.

Voici une construction possible : Soit Q le milieu de [AB]. La demi-droite d'origine le centre du cercle et passant par Q coupe le cercle en M. On considère tout simplemet le cercle intermédiaire circonscrit à ABM. Notons U et V ses intersections avec le cercle initial. On termine comme dans la partie précédente, en construisant I l'intersection de (UV) et de (AB).

Ci contre : cas où A et B sont extérieurs au cercle

Remarque : Comme précédemment, I n'existe pas si OAB est isocèle en O, car alors (UV) // (AB). Dans la description précédente, on peut être surpris de tracer la droite (UV) alors que l'un des deux points est en M : justement, les deux cas sont possibles, donc l'une des deux droites (UM) ou (VM) n'existe pas alors que (sauf si OAB est isocèle en O), la droite (UV) existe toujours.

 

Ci contre : cas où A et B sont intérieurs au cercle :
on notera l'inversion des points U et V, ce qui nécessite de construire la droite (UV).

 

 

Lancer la figure TgtC2P1C.fig ci-dessus (correcte à l'intérieur comme à l'extérieur du cercle).

Charger la macro TgtC2P1C.mac correspondante. Cette macro suffit largement dans les utilisations ordinaires (par exemple sur les coniques) car le cas particulier non traité n'est rencontré que très exceptionnellement.

Le cas particulier d'un des points sur le cercle

Si B se rapproche du cercle, I aussi, ainsi que J et K. Tous ces points sont confondus quand B est sur le cercle, les deux cercles aussi : on a une solution double.

Ce point servira dans une présentation sur les coniques.

Complément logique

On pourrait facilement surcharger cette macro du cas non traité : AOB isocèle en O.Pour cela, en notant R et S les intersections du cercle avec les demi-droites [OA) et [OB), il suffit de tester si (AB) et (RS) sont parallèles. Si oui, la construction est élémentaire.

Pour compléter cette construction de cetargument logique, on peut

Charger la macro Parall.mac qui testele parallélisme de deux droites. Cette macro est décrite sur cette page; rappelons qu'elle envoie un point logique D// sous un point A d'une droite D si D et une droite D' sont parallèles.

abraCAdaBRI ne propose pas cette construction finale car elle n'est pas trés stable : le comportement projectif de Cabri fait que, selon les déplacements de A et B, I peut exister à l'infini, ce qui donne des constructions hasardeuses des cas précédents. Rappelons que ce cas ne se rencontre que si on le provoque par construction, la figure et la macro ci-dessus étant parfaitement opérationnelles.

 

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