On se place dans la situation où l'on dispose de cercles solutions. Le premier, tangent aux deux cercles en P et Q l'est extérieurement à ces cercles, tandis que l'autre, tangent en R et S, l'est extérieurement pour un cercle et intérieurement pour l'autre.

Dans le premier cas, P et Q sont des centres d'homothéties qui échangent chaque cercle de l'hypothèse avec le cercle solution. La composée des homothéties correspondante est une homothétie de rapport positif - car les deux sont de rapport négatif, les cercles étant tangents extérieurement - qui échange C en C'. Soit I ce centre d'homothétie, I, P et Q sont donc alignés.

De même, en notant J le centre d'homothétie de rapport négatif des deux cercles C et C', alors R, J et S sont eux aussi alignés, car on a deux homothéties dont les rapports sont de signes différents (puisqu'il y a un contact intérieur et un extérieur) : leur composée est de rapport négatif.

Il est alors trés simple d'avoir un second point du cercle cherché. Il suffit de considérer l'intersection de la droite (IA) avec le cercle circonscrit à N, M', A. Ce point B est cocyclique aux trois autres, comme il est sur (IA), il vérifie IA.IB = IN.IM', il appartient donc au cercle cherché.

Ayant un second point, on peut appliquer la macro déjà réalisée sur la construction des cercles tangents à un cercle donné passant par deux points donnés.

Etant donnés les deux cercles C et C' de centre O et O', on construit les centres d'homothétie I et J (par macro) et, sur la droite (OO') les points d'intersection de l'axe des centres (OO') avec les deux cercles M, N, M', N' tels que I, M, N, M', N' soient dans cet ordre. Pour orienter les droites correctement dans tous les cas de figure, utiliser l'item d'intersection de 2 objets (plutôt que de la faire "à la main").

Le cercle circonscrit à N, M' et A recoupe (IA) en un point B - voir la remarque ci-dessous - qui appartient aux cercles solutions tangents deux fois de la même façon (soit deux fois extérieurement, soit deux fois intérieurement). Par le même raisonnement le cercle circonscrit à M, M' et A recoupe (AJ) en un point B' qui appartient aux cercles solutions tangents une fois intérieurement et une fois extérieurement.

Remarque importante : ATTENTION à la Cabri-construction : B est l'autre point que A de l'intersection du cercle avec la droite (IA). Il est donc NECESSAIRE de prendre l'intersection du cercle et de la droite, puis le milieu des deux points d'intersection et de prendre pour B le symétrique de A par rapport à ce milieu.

La macro Cercle passant par deux points et tangent à un cercle ci-dessus donne donc en général 4 solutions.

Lancer la figure TC2C1PCn.fig avec les points de contact (voir ci-dessous). Sur cette figure, pour des transformations en macro, les contacts avec le cercle de centre O peuvent être supprimés. Les autres font partie de la construction.

À priori, les cercles devraient être "Cabri-tangents". Mais au moment où cette page a été réalisée (09/97), il subsistait des problèmes dans cette gestion. Un moyen de contrer ce petit bug a été d'une part de rendre les points de contact dans la macro utilisée, et faire une seconde macro Cont1C2P.mac qui ne renvoie que les points de contact : on applique la première à un cercle pour obtenir deux cercles et ses contacts sur le cercle cliqué, on applique la seconde à l'autre cercle pour avoir les contacts des cercles déjà tracés avec ce second cercle.

Cette attitude alourdit un peu les constructions, on propose donc dans la suite des macros qui donnent, au choix, les cercles sans les contacts ou avec, pour en optimiser l'utilisation : dans certains problèmes on n'a besoin que des centres des cercles, on prendra celles sans les contacts, dans d'autres on cherche les points de contact.