Cercles tangents à deux cercles donnés et passant par un point donné - Applications

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Objectif

Cette fiche a été construite pour une leçon d'oral à l'agrégation interne, sur le thème des problèmes de construction. Elle propose la construction des 4 cercles - en général - tangents à deux cercles donnés et passant par un point donné, puis d'en voir quelques utilisations :

- La construction dynamique des huit (en général) cercles tangents à trois cercles donnés

- La construction d'une conique connaissant un foyer, une tangente et deux points (voir Exo 2)

- La construction , à la règle et au compas, de l'intersection deux coniques bifocale ayant un foyer commun

- En complément culturel, une conséquence de cette dernière application est la construction de tangentes communes à deux cercles dans le modèle de Poincaré de géométrie hyperbolique plane.

Cercles tangents à deux cercles donnés et passant par un point donné

Les huits ceercles d'Applolonius - Méthode de Viète

La méthode de Viète : Etant donné trois cercles, on transforme le plus petit, de rayon R, en un point - par des augmentations et réductions du rayon des deux autres de R; on applique ensuite la figure précédente, transformée en macro, et on transforme à nouveau les solutions en augmentant ou réduisant à nouveau les rayons des cercles solution en fonction de la configuration.

Il y a deux difficultés dynamiques dans cette méthode : tout d'abord trouver, algorithmiquement le plus petit cercle et ensuite déterminer efficacement l'action à mener (réduction au augmentation) pour terminer la figure. Détail du traitement de la première question, ou de la figure finale.

 Autres applications (dans abraCAdaBRI)

- La construction d'une conique connaissant un foyer, une tangente et deux points (Exo 2)

- La construction , à la règle et au compas, de l'intersection deux coniques bifocale ayant un foyer commun

- En complément culturel, une conséquence de cette dernière application est la construction de tangentes communes à deux cercles dans le modèle de Poincaré de géométrie hyperbolique plane.