Aspect euclidien des coniques - Les Paraboles

Similitude et propriétés angulaires

Considérons deux tangentes fixes, en P et N, et une tangente variable, en M. Alors la cocyclicité de A, B, C, et F aboutit au fait que le triangle BFC reste directement semblable à lui-même.

Pour les cas particuliers de M en P ou M en N, le triangle BFC devient respectivement PFA et AFN. On aboutit alors à :

Puisque les angles PFA et AFN sont égaux (les segments de tangentes issues d'un point sont vus sous le même angle), F est le centre de la similitude directe qui transforme P en A et A en N ainsi que B en C. En particulier, on a aussi:

d'où on tire

Soient alors U et U' les symétriques de F par rapport à (Ax) et (Ax'). On considère la parabole de directrice d = (UU') et de foyer F. Par construction (Ax) et (Ay) sont deux tangentes à la parabole. F appartenant au cercle circonscrit de APP' et AQQ', la droite de Steiner de F relativement à ces deux triangles existe et c'est la droite (UU'). Donc la parabole est tangente aux droites particulières (PP') et (QQ'). Mais F appartenant aussi au cercle circonscrit de AMM' - par construction du centre de similitude qui envoie P en P' et M en M' - la droite de Steiner de F relativement au triangle AMM' existe et c'est toujours la directrice (UU'). Ainsi, le symétrique de F par rapport à (MM') appartient à la directrice, et donc (MM') est tangente à la parabole fixe définie par les points P, P', Q, Q'.

Conclusion

On considère une famille de droites qui partagent deux segments non parallèles [PQ] et [P'Q'] dans le même rapport, c'est-à-dire qui coupent (PQ) en M et (P'Q') en M', avec MP/MQ = M'P'/M'Q' (en mesures algébriques).Alors la similitude directe qui envoie P sur P' et Q sur Q' envoie aussi M sur M' pour toute droite de ce type, et son centre F est le foyer d'une parabole tangente aux droites (PQ) et (P'Q') et à toute droite de la famille.

On considère une parabole définie par deux tangentes issues de T et leurs contacts P et P'. La similitude - de centre le foyer de la parabole - qui transforme P en T et T en P', transformera le milieu M de [TP] en le milieu M' de [TP']. D'après ce qui précède, la droite (MM') est aussi tangente à la parabole et le point de contact R est défini par la relation (*) ci-dessus : c'est donc le milieu de [MM'] puisque M est celui de [TP].

Par des arguments d'homothétie, il est clair que (MM') est paralèle à la corde (PP') et que R est le milieu de [TI] où I désigne le milieu de la corde.

Cette propriété donne en effet un procédé de construction d'un nombre quelconque de points de la parabole entre P et P'. En effet, R et P' étant à nouveau deux points de la parabole, on applique le même procédé : soit K le milieu de [RP'] et U le milieu de [M'K], pour les mêmes raisons, U est un point de la parabole. On sonstruit de même un cinquième point V, à partir de R et P, et on dispose ainsi de 5 points d'une parabole, ce qui permet une Cabri-construction.

Remarque : Ce résultat est particulièrement intéressant, et peut être présenté trés simplement, mais de manière analytique, en lycée, sur la base d'une parabole d'équation y = ax².