Aspect euclidien des coniques - Les Paraboles

Similitude et propriétés angulaires

[Liste des constructions euclidiennes] [Coniques dans abraJava]

 Introduction | Tangentes | Propriétés angulaires | Constructions élémentaires | Autres constructions | Parabole quadritangente | Parabole et inversion

  

Théorème de la tangente variable

Les propriétés angulaires ayant été vues à la page précédente, nous pouvons revenir sur la figure construite avec 3 tangentes à une parabole. Nous avions vu que le foyer est sur le cercle circonscrit des points d'intersection.

 

Considérons deux tangentes fixes, en P et N, et une tangente variable, en M. Alors la cocyclicité de A, B, C, et F aboutit au fait que le triangle BFC reste directement semblable à lui-même.

Pour les cas particuliers de M en P ou M en N, le triangle BFC devient respectivement PFA et AFN. On aboutit alors à :

Puisque les angles PFA et AFN sont égaux (les segments de tangentes issues d'un point sont vus sous le même angle), F est le centre de la similitude directe qui transforme P en A et A en N ainsi que B en C. En particulier, on a aussi:

d'où on tire

Réciproque : génération tangentielle des paraboles

On considère, sur deux droites (Ax) et (Ax') les points P et Q sur la première et P' et Q' sur la seconde. Ces deux couples (P, P') et (Q, Q') définissent une similitude directe de centre F, l'autre point d'intersection des cercles circonscrits à APP' et AQQ'. On considère alors un point M de (Ax) et son image M' dans la similitude directe de centre F qui transforme P en P' (et Q en Q')

Soient alors U et U' les symétriques de F par rapport à (Ax) et (Ax'). On considère la parabole de directrice d = (UU') et de foyer F. Par construction (Ax) et (Ay) sont deux tangentes à la parabole. F appartenant au cercle circonscrit de APP' et AQQ', la droite de Steiner de F relativement à ces deux triangles existe et c'est la droite (UU'). Donc la parabole est tangente aux droites particulières (PP') et (QQ'). Mais F appartenant aussi au cercle circonscrit de AMM' - par construction du centre de similitude qui envoie P en P' et M en M' - la droite de Steiner de F relativement au triangle AMM' existe et c'est toujours la directrice (UU'). Ainsi, le symétrique de F par rapport à (MM') appartient à la directrice, et donc (MM') est tangente à la parabole fixe définie par les points P, P', Q, Q'.

Conclusion

On considère une famille de droites qui partagent deux segments non parallèles [PQ] et [P'Q'] dans le même rapport, c'est-à-dire qui coupent (PQ) en M et (P'Q') en M', avec MP/MQ = M'P'/M'Q' (en mesures algébriques).Alors la similitude directe qui envoie P sur P' et Q sur Q' envoie aussi M sur M' pour toute droite de ce type, et son centre F est le foyer d'une parabole tangente aux droites (PQ) et (P'Q') et à toute droite de la famille.

Conséquence : construction d'une parabole définie par deux tangentes et leurs contacts


On peut modifier les tangentes et les contacts en P et P'

On considère une parabole définie par deux tangentes issues de T et leurs contacts P et P'. La similitude - de centre le foyer de la parabole - qui transforme P en T et T en P', transformera le milieu M de [TP] en le milieu M' de [TP']. D'après ce qui précède, la droite (MM') est aussi tangente à la parabole et le point de contact R est défini par la relation (*) ci-dessus : c'est donc le milieu de [MM'] puisque M est celui de [TP].

Par des arguments d'homothétie, il est clair que (MM') est paralèle à la corde (PP') et que R est le milieu de [TI] où I désigne le milieu de la corde.

Cette propriété donne en effet un procédé de construction d'un nombre quelconque de points de la parabole entre P et P'. En effet, R et P' étant à nouveau deux points de la parabole, on applique le même procédé : soit K le milieu de [RP'] et U le milieu de [M'K], pour les mêmes raisons, U est un point de la parabole. On sonstruit de même un cinquième point V, à partir de R et P, et on dispose ainsi de 5 points d'une parabole, ce qui permet une Cabri-construction.

Remarque : Ce résultat est particulièrement intéressant, et peut être présenté trés simplement, mais de manière analytique, en lycée, sur la base d'une parabole d'équation y = ax2.

Passage de l'affine à l'euclidien

 

Dans ce cas, retrouver la directrice et le foyer est élémentaire puisque la droite (TI), diamètre conjugué de la corde (PP'), est parallèle à l'axe de la parabole : on connait donc la direction de la directrice. De plus elle passe par l'orthocentre du triangle TMM' : on connait donc la directrice. L'intersection des images de la directrice dans deux symétries orthogonales par rapport à deux des trois tangentes, donne alors le foyer.

 

 Introduction | Tangentes | Propriétés angulaires | Constructions élémentaires | Autres constructions | Parabole quadritangente | Parabole et inversion
[Liste des constructions euclidiennes] [Coniques dans abraJava]

Retour sur abraCAdaBRI

Retour sur "abra-Java"