Aspect euclidien des coniques - Les Paraboles

Tangentes - Paraboles tritangentes à un triangle

Soit P un point donné de la parabole et P' un autre point de la courbe. Les cercles de centre P et P' passant par F sont tangents à la directrice d en M et N. L'axe radical des deux cercles est la droite (FF') de la page précédente où F' est le symétrique du foyer F par rapport à (PP'). On sait alors que cet axe coupe la directrice en un point I tel que IM = IM' et tel que IM² = IF.IF' puisque I est sur l'axe radical des deux cercles et sur une de leur tangente commune.

Lorsque l'on fait déplacer P' et le rapprocher de P, M' se rapproche de M et I aussi. Dans l'égalité IM² = IF.IF', IF est non nul car le foyer n'appartient pas à directrice. Donc si IM tend vers 0 cela signifie que IF' aussi et donc que F' tend vers I, c'est-à-dire M.

Autrement dit, la droite (PP'), médiatrice de [FF'], admet une position limite quand P' tend vers P qui est la médiatrice de [FM]. Comme le triangle FPM est isocèle par construction, cette médiatrice est aussi bissectrice intérieure de l'angle FPM.

En tout point P d'une parabole existe une tangente qui est la médiatrice de [FM] où M est la projection orthogonale de P sur la directrice.

Ainsi, dans la construction "par point", où P est construit à partir de M sur la directrice par intersection de la perpendiculaire en M à la directrice et la médiatrice de [FM], on construit à la fois un point de la parabole mais en même temps la tangente en ce point.

La tangente en P à la parabole coupe sont axe en T et sa normale le coupe en N. Soit U la projection orthogonale de P sur l'axe. On appelle :

Sous tangente le segment [TU] et
Sous-normale le segment [UN].

On sait que, H est milieu de [FM], et que (MP) est parallèle à l'axe (FT). Donc la symétrie centrale de centre H envoie M en F et P sur l'intersection de la tangente avec l'axe, soit en T. Donc le quadrilatère MTFP est un prallèlogramme. Comme de plus ses diagonales sont orthogonales, c'est un losange. H étant milieu de [PT], par projection S est milieu de [TU] :

Le sommet de la parabole est milieu de toute sous-tangente.

Par ailleurs le quadrilatère MFNP est aussi un parallélogramme car il a ses côtés opposés deux à deux parallèles ([MF] :: [NP] car les deux sont perpendiculaires à la tangente). D'où les égalités FN = MP = TF = FP.

Ainsi le cercle de centre F passant par P coupe l'axe en T et N ce qui donne une autre construction élémentaire de la tangente à une parabole en un point.

Enfin, puisque TF = FN et que (illustration précédente) les triangles TKN et FUP ont les trois côtés deux à deux parallèles dont deux de même longueurs, ils sont isométriques, en particulier TK = FU, soit encore KS = UN, d'où :

Pour tout point P d'une parabole, sa sous tangente a pour longueur la valeur du paramètre de la parabole.

On utilise dans ce paragraphe que les symétriques d'un point par rapport aux trois côtés d'un triangle sont alignés si et seulement si ce point appartient au cercle circonscrit au triangle. Dans ce cas, la droite passant par ces trois points s'appelle droite de Steiner. On suppose connaître aussi que cette droite passe par l'orthocentre du triangle.

Soient alors trois tangentes issues de trois points M, N et P d'une parabole de foyer F et de directrice d. On sait que les symétriques de F par rapport à chaque tangente appartient à la directrice. Ils sont donc alignés, et ainsi F appartient au cercle circonscrit au triangle ABC formé des intersections des tangentes prises 2 à 2, et la directrice est la droite de Steiner pour le triangle ABC associé au foyer de la parabole. La directrice passe donc par l'orthocentre du triangle.

Ci-contre on observe que le cercle circonscrit à ABC passe par F et que l'orthocentre du triangle se déplace sur la directrice.
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