Aspect euclidien des coniques - Les Paraboles

Intersections avec une droite

Soit d' un droite. Si cette droite coupe la parabole, elle le fait en deux points O₁ et O₂ qui sont centres de cercles passant par F et tangents à d. Comme ces cercles sont centrés sur d', ils passent aussi par F' le symétrique du foyer par rapport à cette droite.

On est ainsi amené à résoudre un exercice classiquement traité par la puissance d'un point : la construction des cercles passant par deux points donnés tangents à une droite donnée. Cet exercice a déjà été abordé dans abraCAdaBRI à cette page.

On sait qu'il y a en général deux cercles solutions qui donnent ici - mais il faut voir à quelles conditions - deux intersections avec la parabole.

En fait, à chaque fois que les deux cercles existent, leurs centres sont à même distance de F que de la directrice, ce sont donc bien des points de la parabole. Or les deux cercles existent si et seulement si F et F' sont du même côté de la directrice.

Donc il y a des solutions si et seulement si F et F' sont dans le même demi-plan défini par la directrice de la parabole.

Si la droite (FF') est parallèle à la directrice, il n'y a qu'une seule solution. C'est le cas particulier où la droite d' est parallèle à l'axe de la parabole.

La droite (FF') est l'axe radical des cercles. Elle coupe la directrice d en un point I qui, ayant même puissance par rapport aux deux cercles, est à même distance des points de contact M et N.

Or I reste fixe tant que la direction (FF') est fixe, c'est-à-dire tant que la droite d' se déplace parallélement à elle-même : dans ce cas I est milieu des points de contact des cercles et donc projection du milieu des intersections de la parabole avec une droite de direction donnée.

Ci-contre, quand d'₁ se déplace, parallèlement à d', le lieu du milieu J₁ des points d'intersection de d'₁ avec la parabole est une demi-droite [J₀J). J₀ se construit à partir de d'₀ médiatrice de [FI]. Si I est l'intersection de la directrice et de la perpendiculaire passant par F à d', la demi-droite lieu de J a pour support la parallèle à l'axe de la parabole passant par I.

On a donc le résultat suivant :

Le lieu des milieux des cordes d'une parabole, parallèles à une direction fixe, est une demi-droite intérieure à la parabole et parallèle à son axe. Ce lieu s'appelle le diamètre conjugué à la direction de d'.

Remarque : Le terme de diamètre provient de la géométrie projective : c'est un diamètre au sens où le centre de la parabole est le point à l'infini dans la direction de l'axe. En ce sens cette demi-droite passe bien par le centre de la parabole.