Point de Miquel - Parabole quadritangente

Droites de Simson et Steiner
3 - Point de Miquel d'un quadrilatère complet et parabole

[1 - Généralités] [2 - Parabole tritangente à un triangle]
[4 - Enveloppe des droites de Simson] [5 - Autres propriétés de ces droites]

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Rappel des résultats sur la droite de Simson :

Les projections orthogonales d'un point sur les trois côtés d'un triangle sont alignés si et seulement si ce point appartient au cercle circonscrit au triangle. Dans ce cas, la droite passant par ces trois points s'appelle la droite de Simson.

Le point de Miquel

ABC un triangle et la transversale (A'B'C') forment un quadrilatère complet.

Soit O l'autre intersection des cercles circonscrits à ABC et AB'C'. La droite de Simson de O par rapport à ABC est la droite passant par M, N, et Q. Celle de O relative à AB'C' est la droite passant par M, N et P.

Donc les points M, N, P et Q sont alignés.

L'alignement de N, P et Q entraine de O est sur le cercle circonscrit à B'CA'.

L'alignement de M, P, et Q entraine que O est sur le cercle corconscrit à BA'C'.

Ainsi, les cercles circonscrits aux 4 triangles sont concourants en un point appelé point de Miquel du quadrilatère complet.

QDComp1.fig
Conséquence : la droite de Steiner de O par rapport aux quatre triangles contient les 4 orthocentres des triangles qui sont donc alignés.

Autre preuve par le théorème du Pivot
Une autre preuve classique : elle est basée sur le fait que O est le centre de la similitude directe qui envoie C en B' et B en C'.

Parabole quadritangente à un quadrilatère complet

D'aprés le résultat sur les paraboles tritangentes à un triangle, il est clair que l'unique parabole quadritangnete à un quadrilatère complet est la parabole de foyer le point de Miquel de ce quadrilatère et de directrice la droite des 4 orthocentres des triangles.

QDComp2.fig

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[4 - Enveloppe des droites de Simson] [5 - Autres propriétés de ces droites]

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Rappel des résultats sur la droite de Simson :

Les projections orthogonales d'un point sur les trois côtés d'un triangle sont alignés si et seulement si ce point appartient au cercle circonscrit au triangle. Dans ce cas, la droite passant par ces trois points s'appelle la droite de Simson.

Le point de Miquel

ABC un triangle et la transversale (A'B'C') forment un quadrilatère complet.

Soit O l'autre intersection des cercles circonscrits à ABC et AB'C'. La droite de Simson de O par rapport à ABC est la droite passant par M, N, et Q. Celle de O relative à AB'C' est la droite passant par M, N et P.

Donc les points M, N, P et Q sont alignés.

L'alignement de N, P et Q entraine de O est sur le cercle circonscrit à B'CA'.

L'alignement de M, P, et Q entraine que O est sur le cercle corconscrit à BA'C'.

Ainsi, les cercles circonscrits aux 4 triangles sont concourants en un point appelé point de Miquel du quadrilatère complet.

Conséquence : la droite de Steiner de O par rapport aux quatre triangles contient les 4 orthocentres des triangles qui sont donc alignés.

Parabole quadritangente à un quadrilatère complet

D'aprés le résultat sur les paraboles tritangentes à un triangle, il est clair que l'unique parabole quadritangnete à un quadrilatère complet est la parabole de foyer le point de Miquel de ce quadrilatère et de directrice la droite des 4 orthocentres des triangles.

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