Exos Cas Particuliers - Coniques BiFocales

Exercices sur l'aspect bifocal des coniques

3 - Cas particuliers de constructions

[1 - Problèmes de construction] [2 - Problèmes de lieux]
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Exercice P1

Soit un cercle C donné. On considère deux coniques ayant ce cercle pour cercle directeur associé au foyer F₁ et F₂ respectivement. Montrer - en réalisant la figure - que les tangentes communes de ces deux coniques - quand elles existent - sont constructibles à la règle et au compas.

La figure ExpTCmCD.fig d'expérimentation

Coup de pouce

Solution

Début

Exercice P2

C'est (presque) un exercice dual du précédent : étant donnés un point F et deux cercles C1 et C2, on se propose de construire à la règle et au compas les intersections communes des deux coniques ayant le point F comme foyer commun, et les cercles C1 et C2 comme cercles directeurs respectifs.

Pour l'expérimentation, commencer par charger la macro CnkFC1.mac qui construit une conique par foyer et cercle directeur, puis la figure ExpMFoy.fig d'observation en suivant ses instructions

Solide Coup de pouce (vraie expérimentation)

Solution

Début

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Les coups de pouce

Exercice P1

Considérer les cercles directeurs des deux coniques de centres respectifs F₁ et F₂ : s'il y a une tangente commune, le symétrique de O - le centre du cercle initial - par rapport à cette tangente est un point commun à ces deux cercles.

Retour Exercice P1

Exercice P2

Prenons une figure d'analyse ExpMFoy2.fig où l'on dispose de deux coniques de même foyer ayant deux cercles directeurs différents.

Soient M et N deux points des cercles directeurs, on construit les points des coniques C et C' associés, par intersection des droites (O'M) et la médiatrice de [FM] pour C', et l'intersection des droites (ON) et de la mdaitrice de [FO] pour le point C.

Puis déplaçons M et N sur les cercles directeurs pour que C et C' coïncident avec une des intersections des deux coniques

Alors le cercle centré sur l'intersection des deux médiatrices passant par F, par construction passe par M et N en étant tangent aux deux cercles directeurs.

Autrement dit, il semble bien que les points d'intersection des coniques soient les centres des cercles tangnets aux deux cercles directeurs passant par F.

Mais on se souvient que ce problème a déjà été traité dans abraCAdaBRI, dans les exercices relevant de l'axe radical, plus précidément à cette page.

Il suffit d'adapter un peu ...

Retour Exercice P2

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Exercice P1

Soit un cercle C donné. On considère deux coniques ayant ce cercle pour cercle directeur associé au foyer F1 et F2 respectivement. Montrer - en réalisant la figure - que les tangentes communes de ces deux coniques - quand elles existent - sont constructibles à la règle et au compas.

La figure ExpTCmCD.fig d'expérimentation

Coup de pouce

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Exercice P2

C'est (presque) un exercice dual du précédent : étant donnés un point F et deux cercles C1 et C2, on se propose de construire à la règle et au compas les intersections communes des deux coniques ayant le point F comme foyer commun, et les cercles C1 et C2 comme cercles directeurs respectifs.

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Exercice P1

Considérer les cercles directeurs des deux coniques de centres respectifs F1 et F2 : s'il y a une tangente commune, le symétrique de O - le centre du cercle initial - par rapport à cette tangente est un point commun à ces deux cercles.

Exercice P2

Prenons une figure d'analyse ExpMFoy2.fig où l'on dispose de deux coniques de même foyer ayant deux cercles directeurs différents.

Soient M et N deux points des cercles directeurs, on construit les points des coniques C et C' associés, par intersection des droites (O'M) et la médiatrice de [FM] pour C', et l'intersection des droites (ON) et de la mdaitrice de [FO] pour le point C.

Puis déplaçons M et N sur les cercles directeurs pour que C et C' coïncident avec une des intersections des deux coniques

Alors le cercle centré sur l'intersection des deux médiatrices passant par F, par construction passe par M et N en étant tangent aux deux cercles directeurs.

Autrement dit, il semble bien que les points d'intersection des coniques soient les centres des cercles tangnets aux deux cercles directeurs passant par F.

Mais on se souvient que ce problème a déjà été traité dans abraCAdaBRI, dans les exercices relevant de l'axe radical, plus précidément à cette page.

Il suffit d'adapter un peu ...

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Soit un cercle C donné. On considère deux coniques ayant ce cercle pour cercle directeur associé au foyer F₁ et F₂ respectivement. Montrer - en réalisant la figure - que les tangentes communes de ces deux coniques - quand elles existent - sont constructibles à la règle et au compas.

Considérer les cercles directeurs des deux coniques de centres respectifs F₁ et F₂ : s'il y a une tangente commune, le symétrique de O - le centre du cercle initial - par rapport à cette tangente est un point commun à ces deux cercles.