Préliminaires au théorème

En fait il s'agit d'une lecture algébrique que propose Bachmann du théorème fondamental des plans métriques, comme nous le verrons plus loin.

Les axiomes 3 et 4 portaient sur la composée de trois droites dans le cas des faisceaux à centre ou à axe. Il s'agit ici d'observer le produit de points et de droites, plus précisément de caractériser quand AbC est une droite et quand aBc est un point.

Th 10 : AbC est une droite ssi il existe une droite v telle que v | A, b, C

Si A=C, AbA est une droite par conjugaison, et il existe toujours v | A, b : il suffit de chosir la (une) perpendiculaire à b incidente à A.

Si A et C sont deux points distincts, le cas particulier ci-dessus donne une indication : considérons la droite v incidente à A et B : par l'axiome 1, il existe v | A, B.
Notons alors c = Cv = vC (la droite orthogonale à v passant par C) et a = Av = vA la droite orthogonale à v passant par A. On a aussi A = av = va. On peut alors écrire :AbC = vabcv. Remarquons que les droites a et c sont distinctes car A et C sont dinctints.

Si v | b, comme on a aussi a | v et c | v, par l'axiome 3 a, b, c sont en faisceau, il existe une droite d tel que abc = d, et par le complément de l'axiome 3, de plus d | v, c'est-à-dire vdv = d.
Autrement dit AbC = d soit AbC est une droite.

Si AbC est une droite, par conjugaison, vAbCv aussi et donc v(vabcv)v est une droite, soit abc est une droite. On a vu (partie Faisceau) qu'alors acb est aussi une droite. Or a | v et c |v avec a différent de c. Par le théorème 9, réciproque de l'axiome 4, b | v.

Complément au théorème 10 : Dans le cas où AbC est une droite d, et v une droite telle que v | A, b, C alors d | v.

Dans le cas où A et C sont distincts, le compément de l'axiome 4 appliqué à ce qui est ci-dessus suffit à assurer que d | v

Dans le cas où A = C, la droite d est AbA. Or si v | b, A, AbA | AvA par conservation de de la relation | par isométrie. Or AvA = v donc d | v.

Th. 11 : aBc est un point ssi il existe une droite v telle que v | a, B, c

Sens direct : si aBc est un point D alors BcD = a est une droite et par le complément ci-dessus au théorème 10, il existe une droite v telle que v | B, c, D, a.

Sens réciproque : Supposons qu'il existe une droite v telle que v | a, B, c, et notons b = Bv. Par hypothèse vc = cv. Puisque l'on a v | a, b, c, par l'axiome 4, abc est une droite d telle que d | v (complément à l'axiome 4).
On peut alors écrire aBc = abvc = abcv = dv qui est un point puisque d | v. Ainsi aBc est un point D et de plus D | v

Complément au théorème 11 : Dans le cas où aBc est un point D, et v une droite telle que a, B, c | v, alors D | v. 

Ceci résulte de la preuve ci-dessus (du sens direct).

Preuves et illustration CabriJava du : Th 10 | Th 11

Le théorème de Hjelmslev

Ce théorème fondamental des plans métriques est une autre lecture du théorème 10.

 

Soient, a, a', b, c, c' cinq droites telles qu aa' = A, cc' = C, avec A et C distincts et telles que abc soit une droite d. Alors a'bc' est une droite si et seulement si d | (AC). Preuve : a'bc' = a'(aa)b(cc)c' = AabcC = AdC. Par le théorème 10, a'bc' est une droite ssi il existe une droite v | A, d, Csoit ssi (AC) | d.

 

Voir des illustrations dynamiques CabriJava  dans les différents modèles hyperboliques | dans le modèle elliptique

Conséquences constructives

Outre un critère important (qu sera largement utilisé ultérieurement) pour que trois droites soient en faisceau, ce théorème donne une construction pratique de la quatrième droite d = abc produit de trois droites en faisceau. On en déduit la construction de la droite d'un faisceau donné passant par un point donné.

La quatrième réflexion

 

Principe de la construction dans Cabri Soit M un point sur objet de b, N et P sur a et c respectivement, telles que (MN) | a et (MP) | c. La droite d cherchée est la (une ?) perpendiculaire à (NP) appartenant au faisceau. Illustrée ci-contre dans le cas des faisceaux à centre dans le contexte euclidien, il convient de savoir construire la perpendiculaire à une droite donnée appartenant à un faisceau donné, ce qui ne pose aucxun porblème dans les modèles utilisés.

 

Voir cela en détail en CabriJava : pour pour les modèles hyperboliques | Pour le cas elliptique

Droite du faisceau F(ab) passant par un point M

Deux droites a' et c' (distinctes) étant données. Pour tout point P non incident à l'une d'elle, il existe une droite incidente à ce point appartenant au faisceau F(a'c').

Remarque : si a' = c', toute droite incidente au point convient.  

Preuve et principe de la construction dans Cabri a' et c' étant deux droites distinctes, on construit les deux perpendiculaires a et c aux droites a' et c' respectivement, passant par P. Notons alors A = aa' et C = cc'. Si A = C, alors A | c' et la droite A convient. Si A et C sont distincts, soit d la (une) perpendiculaire à (AC) issue de P.Alors adc est une droite b passant par P et telle que abc = d. D'apés le théorème fondamental b est la droite cerchée car a'bc' est une droite.

 

Voir cela en détail en CabriJava : pour pour les modèles hyperboliques et elliptique