Axiomatique de Bachmann pour les plans métriques

 3.b.2 - Preuve du théorème 11 - aBc point ssi ...

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 Preuves ou illustrations en CabriJava du : Th 10 | Th 11 | Th Hjelmslev | d = abc | Droite de F(ab)

 

Th. 11 : aBc est un point ssi il existe une droite v telle que v | a, B, c

Sens direct : si aBc est un point D alors BcD = a est une droite et par le complément au théorème 10, il existe une droite v telle que v | B, c, D, a.

Sens réciproque : Supposons qu'il existe une droite v telle que v | a, B, c, et notons b = Bv. Par hypothèse vc = cv. Puisque l'on a v | a, b, c, par l'axiome 4, abc est une droite d telle que d | v (complément à l'axiome 4).
On peut alors écrire aBc = abvc = abcv = dv qui est un point puisque d | v. Ainsi aBc est un point D et de plus D | v

Complément au théorème 11 : Dans le cas où aBc est un point D, et v une droite telle que a, B, c | v, alors D | v. 

Ceci résulte de la preuve ci-dessus (du sens direct).

 
Illustration du théorème, dans le contexte hyperbolique du demi-plan de Poincaré : cas général

 
Dans le même contexte, le cas B | v avec v | a, c : v est la perpendiculaire commune à a et c

 Spécificité pour le cas elliptique

 

 Preuves ou illustrations en CabriJava du : Th 10 | Th 11 | Th Hjelmslev | d = abc | Droite de F(ab)

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