Th. 11 : aBc est un point ssi il existe une droite v telle que v | a, B, c

Nous nous proposons ici d'illustrer que cette écriture du théorème 11 - comme proposée par Bachmann - mérite une explication, car elle n'est pas totalment exacte dans le cas elliptique.

Mais avant cela, remarquons que dans le cas elliptique les théorèmes 10 et 11 sont deux écritures du même résultat car dans cette géométrie tout point est une droite, et donc chercher quand AbC (respectivement aBc) est une droite (respectivement un point) est la même chose.

Une spécificité elliptique : Dans la preuve du sens réciproque, nous avons supposé qu'il existe une droite v telle que v | a, B, c, et avons noté b = Bv. Or dans le cas elliptique, on peut avoir B = v, et dans ce cas, le produit n'est pas une droite. En voici une illustration :